Question

如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，D点P（2

3

，2）是⊙O外一点，连接AP，点B从点D出发按逆时针方向以每秒一个单位的速度在⊙O上运动，PB交x轴于点C．
（1）证明PA是⊙O的切线；
（2）当点B在第四象限且PB与⊙O相切时，求点B的坐标；
（3）在（2）的条件下求直线AB的解析式．并直接写出PB与⊙O相切时点B运动的时间．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）证明AP∥x轴，得出∠OAP=90°，可得出结论；
（2）连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，易证△OBC≌△PEC，得出OC=PC，设OC=PC=x，则CE=OE-OC=2

3

-x，在Rt△PCE中利用勾股定理可求出x的值，再由△OBC面积的两种表示形式求出BF，在Rt△OFB中求出OF，继而可得点B的坐标；
（3）求出∠BOF、BOD的度数，求出弧长BD的长度，可得点B运动的时间．

解答：（1）证明：∵A（0，2），P（2

3

，2），
∴AP∥x轴，
∴∠OAP=90°，且点A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切线；

（2）解：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BF⊥x轴于点F，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠OBP=90°，即∠OBP=∠PEC，
又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PCE，
∴△OBC≌△PEC，
∴OC=PC，
设OC=PC=x，则CE=OE-OC=2

3

-x，
在Rt△PCE中，∵PC²=CE²+PE²，
∴x²=（2

3

-x）²+2²，
解得：x=

4

3

3

，
∴BC=CE=2

3

-

4

3

3

=

2

3

3

∵

1

2

OB•BC=

1

2

OC•BF，即

1

2

×2×

2

3

3

=

1

2

×

4

3

3

×BF，
∴BF=1，
∴OF=

OB2-BF2

=

22-12

=

3

，
由点B在第四象限可知B（

3

，-1）；

（3）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
由A（0，2），B，（

3

，-1）；可得

3 k+b=-1 b=2

；
解得：

k=- 3 b=2

，
∴直线AB的解析式为y=-

3

x+2，
∵tan∠BOF=

BF

OF

=

3

3

，
∴∠BOF=30°，
∴∠BOD=60°，
∴l

BD

=

60π×2

180

=

2

3

π，
∴此时点B运动了

2

3

π秒．

点评：本题考查了圆的综合，涉及了切线的判定、待定系数法求函数解析式、弧长的计算及三角形的面积，解答此类综合性较强的题目，要求同学们熟练基本知识的掌握，并能将所学知识融会贯通．