Question

16．如图，已知一次函数y₁=k₁x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象分别交于C、D两点，点D（2，-3），点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y₁=k₁x+b与反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出y₁＞y₂时自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点D的坐标代入y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作DE⊥x轴于E，根据题意求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）联立方程求得C的坐标，然后根据S_△COD=S_△AOC+S_△AOD即可求得△COD的面积；
（3）根据图象即可求得．

解答 解：∵点D（2，-3）在反比例函数y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象上，
∴k₂=2×（-3）=-6，
∴y₂=-$\frac{6}{x}$；
作DE⊥x轴于E，
∵D（2，-3），点B是线段AD的中点，
∴A（-2，0），
∵A（-2，0），D（2，-3）在y₁=k₁x+b的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2{k}_{1}+b=0}\\{2{k}_{1}+b=-3}\end{array}\right.$，
解得k₁=-$\frac{3}{4}$，b=-$\frac{3}{2}$，
∴y₁=-$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$；

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{6}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-4}\\{{y}_{2}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴C（-4，$\frac{3}{2}$），
∴S_△COD=S_△AOC+S_△AOD=$\frac{1}{2}$×$2×\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$×2×3=$\frac{9}{2}$；

（3）当x＜-4或0＜x＜2时，y₁＞y₂．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得A点的坐标是解题的关键．