Question

4．△ABC是边长为6的等边三角形，D、E是AB、BC上的动点，且BE=DC，连AD、EC交于点M．
（1）求证：△AME∽△ABD；
（2）连DE，若BD=2DC，求证：①DE⊥AB；②连BM，求BM的长；
（3）当D、E在△ABC的边BC、AB上运动时，直接写出△AMC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形性质得出AB=BC，∠ABD=∠C=60°，可得△ABD≌△BCE；推出∠BAD=∠CBE，再通过三角形外角性质即可求出∠AME的度数，即可得出结论．
（2）①过点C作CF⊥AB于F，判断出△BDE∽△BCF，即可得出结论，
②先利用勾股定理求出AD，AM，再用相似得出比例式求出MN，AN最后用勾股定理即可得出BM．
（3）先判断出△ACM面积最大时，点M的位置，最后用圆的性质即可求出结论．

解答 解：：①∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．∠BAD=∠CBE，
∴∠AME=∠ABE+∠BAD=∠ABE+∠CBE=∠ABC=60°=∠B
∵∠EAM=∠DAB，
∴△AME∽△ABD，
（2）如图1，过点C作CF⊥AB，
∴∠BFC=90°
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴AB=BC=6，BF=$\frac{1}{2}$AB=3，
∵BD=2DC，
∴CD=2，BD=4
∴BE=CD=2，
∵$\frac{BE}{BF}=\frac{2}{3}$，$\frac{BD}{BC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{BE}{BF}=\frac{BD}{BC}$，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCF，
∴∠BED=∠BFC=90°，
∴DE⊥AB，
如图2，
过点A作AH⊥BC，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴DH=BD-BH=1，AH=3$\sqrt{3}$，
根据勾股定理得，AD=$\sqrt{A{H}^{2}+D{H}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
由（1）知，△AME∽△ABD，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{EM}{BD}$，
∴$\frac{AM}{6}=\frac{4}{2\sqrt{7}}=\frac{EM}{4}$，
∴AM=$\frac{12\sqrt{7}}{7}$
在Rt△BDE中，DE=$\sqrt{B{D}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
过点M作MN⊥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE∥MN，
∴$\frac{MN}{DE}=\frac{AM}{AD}$=$\frac{AN}{AE}$
∴$\frac{MN}{2\sqrt{3}}=\frac{\frac{12\sqrt{7}}{7}}{2\sqrt{7}}=\frac{AN}{4}$，
∴MN=$\frac{12\sqrt{3}}{7}$，AN=$\frac{24}{7}$
∴BN=AB-AN=$\frac{18}{7}$
在Rt△BMN中，BM=$\sqrt{B{N}^{2}+M{N}^{2}}$=$\frac{6\sqrt{21}}{7}$．
（3）如图3，

由（1）可知∠AME=∠B=60°，
∴∠AMC=120°，点M的轨迹是一段弧，它所对的弦AC对的圆心角120°，
∴△AMC的AC边上的高为M到AC的距离，最大距离即为弓形的高IG，
在Rt△AOI中，AI=3，∠AOI=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，
∴OA=2$\sqrt{3}$，OI=$\sqrt{3}$，
∴IG=$\sqrt{3}$，
∴S_△AMC最大=$\frac{1}{2}$×AC×IG=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，极值，圆的性质，解本题的关键是判断出△BDE∽△BCF．