Question

9．已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，D为线段CB上一点（不与C、B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE=∠AED．设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图（1），
①若∠BAC=42°，∠DAE=30°，则α=12°，β=6°．
②写出α与β的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），当E点在CA的延长线上时，其它条件不变，写出α与β的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）①直接求α的度数，根据三角形的内角和与等腰三角形的性质求∠ACB和∠AED的度数，再根据外角定理求出β的度数；
②α=2β，理由是：
设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，同理求出∠ACB=$\frac{180°-x°}{2}$和∠AED=$\frac{180°-y°}{2}$，利用外角定理得：β=∠AED-∠ACB，代入可得结论；
（2）如图（2），2β=180°+α，理由是：
设∠BAC=x°，∠DAE=y°，
根据图形先表示α=x°-（180°-y°）=x°-180°+y°，同理得∠ACB和∠AED的度数，在△EDC中利用外角定理列式可得结论．

解答 解：（1）如图（1），
①∵∠BAC=42°，∠ACB=∠ABC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-42°}{2}$=69°，
∵∠DAE=30°，∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∵∠AED是△DEC的一个外角，
∴∠AED=∠EDC+∠ACB，
∴∠EDC=∠AED-∠ACB=75°-69°=6°，
即β=6°，
α=∠BAC-∠DAE=42°-30°=12°；
故答案为：12°，6°；
②α=2β，理由是：
设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，
∵∠ACB=∠ABC，
∴∠ACB=$\frac{180°-x°}{2}$，
∵∠ADE=∠AED，
∴∠AED=$\frac{180°-y°}{2}$，
∴β=∠AED-∠ACB=$\frac{180°-x°}{2}$-$\frac{180°-y°}{2}$=$\frac{x°-y°}{2}$=$\frac{α}{2}$，
∴α=2β；
（2）如图（2），2β=180°+α，理由是：
设∠BAC=x°，∠DAE=y°，
α=x°-（180°-y°）=x°-180°+y°，
∵∠ACB=∠ABC，
∴∠ACB=$\frac{180°-x°}{2}$，
∵∠ADE=∠AED，
∴∠AED=$\frac{180°-y°}{2}$，
∴∠EDB是△EDC的一个外角，
∴∠EDB=∠AED+∠ACB，
∴180°-β=$\frac{180°-y°}{2}$+$\frac{180°-x°}{2}$，
2β=x°+y°，
2β=180°+α．

点评 本题是三角形的综合题，难度适中，考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、外角定理；本题的解题思路为：①先表示两个等腰三角形两个底角的度数，②利用外角定理列式，将α、β代入即可．