Question

16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，E是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式，并在-4≤x≤2范围内画出此抛物线的草图；
（2）若点F和点D关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O、F、P、Q为顶点的平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式，再利用求顶点坐标的公式即可；
（2）由条件确定出Q点纵坐标的绝对值，再分情况解一元二次方程即可．

解答 解：（1）根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}-9-3b+c=0\\-1+b+c=0.\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-2.\end{array}\right.$，
∴解析式为y=-x²-2x+3．
当x=-$\frac{b}{2a}$=-1时，y=4，
∴顶点D的坐标为（-1，4），
∴点F的坐标为（-1，-4）．
此抛物线的草图如图所示 
                                           
（2）若以O、F、P、Q为顶点的平行四边形存在，
则点Q（x，y）必须满足|y|=|EF|=4．
①当y=-4时，-x²-2x+3=-4，
解得，x=-1±2$\sqrt{2}$，
∴Q₁（-1-2$\sqrt{2}$，-4），Q₂（-1+2$\sqrt{2}$，-4）
∴P₁（-2$\sqrt{2}$，0），P₂（2$\sqrt{2}$，0）．
②当y=4时，-x²-2x+3=4，
解得，x=-1，
∴Q₃（-1，4），
∴P₃（-2，0），
综上所述，符合条件的点有三个即：
P₁（-2$\sqrt{2}$，0），P₂（2$\sqrt{2}$，0），P₃（-2，0）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查待定系数法、数形结合、转化、分类讨论的思想方法，以及运算求解能力，画出满足条件的图形式解本题的难点．