Question

1．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F．
求证：（1）∠ACB=∠DBC；
（2）BE=CF．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出AC=BD，AB=DC，根据SSS推出△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）求出∠BEC=∠CFB=90°，根据全等三角形的判定得出△BEC≌△CFB，根据全等三角形的性质得出即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB=DC，
在△ABC和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CB}\\{AB=DC}\\{AC=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB=∠DBC；

（2）∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，
∴∠BEC=∠CFB=90°，
在△BEC和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠CFB}\\{∠ECB=∠FBC}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△CFB（AAS），
∴BE=CF．

点评 本题考查了矩形的性质和全等三角形的性质和判定的应用，能灵活利用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，矩形的对边相等．