如图.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A.与y轴相交于点C．(1)求此二次函数的解析式．(2)若抛物线的顶点为D.点E在抛物线上.且与点C关于抛物线的对称轴对称.直线AE交对称轴于点F.试判断四边形CDEF的形状.并说明理由．(3)若点M在x轴上.点P在抛物线上.是否存在以A.E.M.P为顶点且以AE为一边的平行四边形?若存在.请直接写出所有满足要求的点P的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

10．

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴相交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴相交于点C（0，-3）．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）若抛物线的顶点为D，点E在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，直线AE交对称轴于点F，试判断四边形CDEF的形状，并说明理由．
（3）若点M在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A，E，M，P为顶点且以AE为一边的平行四边形？若存在，请直接写出所有满足要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）结论四边形EFCD是正方形．如图1中，连接CE与DF交于点K．求出E、F、D、C四点坐标，只要证明DF⊥CE，DF=CE，KC=KE，KF=KD即可证明．
（3）如图2中，存在以A，E，M，P为顶点且以AE为一边的平行四边形．根据点P的纵坐标为2或-2，即可解决问题．

解答解：（1）把A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）代入y=ax²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）结论四边形EFCD是正方形．
理由：如图1中，连接CE与DF交于点K．

∵y=（x-1）²-4，
∴顶点D（1，4），
∵C、E关于对称轴对称，C（0，-3），
∴E（2，-3），
∵A（-1，0），设直线AE的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为y=-x-1．
∴F（1，-2），
∴CK=EK=1，FK=DK=1，
∴四边形EFCD是平行四边形，
又∵CE⊥DF，CE=DF，
∴四边形EFCD是正方形．

（3）如图2中，存在以A，E，M，P为顶点且以AE为一边的平行四边形．

由题意点P的纵坐标为3或-3，
当y=3时，x²-2x-3=3，解得x=1±$\sqrt{7}$，
可得P₁（1+$\sqrt{7}$，2），P₂（1-$\sqrt{7}$，2），
当y=-2时，x=0，可得P₃（0，-3），
综上所述当P点坐标为（1+$\sqrt{7}$，3）或（1-$\sqrt{7}$，3）或（0，-3）时，存在以A，E，M，P为顶点且以AE为一边的平行四边形．

点评本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的应用、正方形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

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