Question

8．荷花小区要在一块一边靠墙（墙长是15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，如图所示．若设花园BC的边长为xm，花园的面积为y m²．
（1）求y与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围
（2）当自变量x在取值范围内取值时，花园面积能达到200m²吗？如果能求出x的值，若不能说明理由；
（3）根据（1）中求得的函数关系式，说出其图象的开口方向，对称轴方程，结合题意判断当x在取值范围内取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）设花园靠墙的一边长为x（m），另一边长为$\frac{40-x}{2}$，用面积公式表示矩形面积；
（2）就是已知y=200，解一元二次方程，但要注意检验结果是否符合题意；即结果应该是0＜x≤15．
（3）由于0＜x≤15，对称轴x=20，即顶点不在范围内，y随x的增大而增大，x=15时，y有最大值．

解答 解：（1）根据题意得：y=x•$\frac{40-x}{2}$，
即y=-$\frac{1}{2}$x²+20x（0＜x≤15）
（2）当y=200时，即-$\frac{1}{2}$x²+20x=200，
解得x₁=x₂=20＞15，
∴花园面积不能达到200m²．
（3）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+20x的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x=20，
∴当0＜x≤15时，y随x的增大而增大．
∴x=15时，y有最大值，
y_最大值=-$\frac{1}{2}$×15²+20×15=187.5m²
即当x=15时，花园的面积最大，最大面积为187.5m²．

点评 本题考查实际问题中二次函数解析式的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．