Question

 已知，凸4n＋2边形A₁A₂…A_4n+2（n是非零自然数）各内角都是30°的整数倍,

又关于x的方程

① ②③

     

  均有实根，求这凸4n＋2边形各内角的度数.

   

Answer 1

解析  ∵各内角只能是30°,60°,90°,120°,150°,

    ∴正弦值只能取,,1.

    若sinA₁=,∵sinA₂≥,sinA₃≥,

∴ 方程①的判别式△₁=4(sin²A₁-sinA₂)≤4(-)<0.

方程①无实根,与已知矛盾,

故sinA₁≠.

    同理sinA₂≠,sinA₃≠;

    若sinA₁=,则sinA₂≥,sinA₃≥,

    ∴方程①的判别式△₁=4(sin²A₁-sinA₂)=4·(-)<0,方程①无实根,与已知矛盾.

    ∴sinA₁≠,同理sinA₂≠,sinA₃≠.

    综上,sinA₁=1,A₁=90°.

    这样,其余4n-1个内角之和为 4n×180°-3×90°=720°·n-270°,这些角均不大于150°,

    ∴720°·n-270°≤(4n-1)·150°,故n≤1.

    又n为正整数,∴n=1.即多边形为凸六边形,且A₄+A₅+A₆=4×180°-3×90°=450°.

    ∵A₄,A₅,A₆≤150°,

    ∴A₄=A₅=A₆=150°.