Question

已知，凸4n+2边形A₁A₂…A_4n+2（n是非零自然数）各内角都是30°的整数倍，又关于x的方程：

x2+2xsinA1+sinA2=0 x2+2xsinA2+sinA3=0 x2+2xsinA3+sinA1=0

均有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数．

Answer 1

分析：首先根据30°的倍数得到各个内角的度数可能有的情况，再根据它们的锐角三角函数值结合方程根的情况进行分析．

解答：解：∵各内角只能是30°，60°，90°，120°，150°，
∴正弦值只能取

1

2

，

3

2

，1，
若sinA₁=

1

2

，
∵sinA₂≥

1

2

，sinA₃≥

1

2

，
∴方程①的判别式△₁=4（sin²A₁-sinA₂）≤4（

1

4

-

1

2

）＜0，
方程①无实根，与已知矛盾，
故sinA₁≠

1

2

，
同理sinA₂≠

1

2

，sinA₃≠

1

2

，
若sinA₁=

3

2

，则sinA₂≥

3

2

，sinA₃≥

3

2

，
∴方程①的判别式△₁=4（sin²A₁-sinA₂）=4•（

3

4

-

3

2

）＜0，方程①无实根，与已知矛盾，
∴sinA₁≠

3

2

，同理sinA₂≠

3

2

，sinA₃≠

3

2

，
综上，sinA₁=1，A₁=90°，
这样，其余4n-1个内角之和为4n×180°-3×90°=720°•n-270°，这些角均不大于150°，
∴720°•n-270°≤（4n-1）•150°，
故n≤1，又n为正整数，
∴n=1，即多边形为凸六边形，且A₄+A₅+A₆=4×180°-3×90°=450°，
∵A₄，A₅，A₆≤150°，
∴A₄=A₅=A₆=150°．

点评：此题综合运用了特殊角的锐角三角函数值以及一元二次方程根的情况进行分析．