Question

如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，OA，OC分别在x，y轴上，点D在OA上，且CD=AD．
（1）求直线CD的函数关系式；
（2）求经过B，C，D三点的抛物线的关系式；
（3）在上述抛物线上位于x轴下方的图象上，是否存在一点P，使△PBC的面积等于矩形OABC的面积的？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：
（1）设OD=x，则CD=AD=8-x，
∴（8-x）²=x²+16，
得x=3，所以点D的坐标是（3，0），又点C的坐标是（0，4），
设直线CD的关系式为y=kx+b，
把D，C的坐标代入关系式，有，
∴k=-．
∴直线CD的函数关系式是y=-x+4．

（2）由题意得B，C，D三点的坐标分别为（8，4），（0，4），（3，0），
设抛物线的关系式为y=ax²+bx+c，则
解得a=，b=-，c=4．
抛物线的关系式为y=x²-x+4．

（3）在抛物线上不存在点P，使△PBC的面积等于矩形OABC的面积的．
由抛物线的对称性可知，以抛物线顶点为P的△PBC面积最大，
由y=x²-x+4=（x-4）-可知，顶点坐标为（4，-），
则△PBC的高为4+|-|=，S_△PBC=×8×=≈17.1，
S_矩形OABC=4×8=32，32×=19.2，
因为17.1＜19.2，
所以在抛物线上位于x轴下方的图象上不存在点P，使△PBC的面积等于矩形OABC面积的．
分析：（1）根据条件易得OC，OD的长，就可以求出这两点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．
（2）B，C，D三点的坐标容以得到，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．
（3）矩形OABC的面积可以求出．△PBC的底边BC已知，可以设BC边上的高线，就可表示出三角形的面积．根据△PBC的面积等于矩形OABC的面积的，就可以得到关于BC边上的高线的方程，就可以解出高线长．进而求出P点的纵坐标的值．得到P点的坐标．把P点的坐标与抛物线的纵坐标进行比较就可以．
点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，注意数与形的结合是解决本题的关键．