【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C
(1)求此二次函数解析式;
(2)点D为抛物线的顶点,试判断△BCD的形状,并说明理由;
(3)将直线BC向上平移t(t>0)个单位,平移后的直线与抛物线交于M,N两点(点M在y轴的右侧),当△AMN为直角三角形时,求t的值.
【答案】(1);(2)△BCD为直角三角形,理由见解析;(3)当△AMN为直角三角形时,t的值为1或4.
【解析】
(1)根据点A、B的坐标,利用待定系数法即可求出二次函数解析式;
(2)利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征,可求出点C、D的坐标,利用两点间的距离公式可求出CD、BD、BC的长,由勾股定理的逆定理可证出△BCD为直角三角形;
(3)根据点B、C的坐标,利用待定系数法可求出直线BC的解析式,进而可找出平移后直线的解析式,联立两函数解析式成方程组,通过解方程组可找出点M、N的坐标,利用两点间的距离公式可求出AM2、AN2、MN2的值,分别令三个角为直角,利用勾股定理可得出关于t的无理方程,解之即可得出结论.
(1)将、代入,得:
,解得:,
此二次函数解析式为.
(2)为直角三角形,理由如下:
,
顶点的坐标为.
当时,,
点的坐标为.
点的坐标为,
,
,
.
,
,
为直角三角形.
(3)设直线的解析式为,
将,代入,得:
,解得:,
直线的解析式为,
将直线向上平移个单位得到的直线的解析式为.
联立新直线与抛物线的解析式成方程组,得:,
解得:,,
点的坐标为,,点的坐标为,.
点的坐标为,
,,.
为直角三角形,
分三种情况考虑:
①当时,有,即,
整理,得:,
解得:,(不合题意,舍去);
②当时,有,即,
整理,得:,
解得:,(不合题意,舍去);
③当时,有,即,
整理,得:.
,
该方程无解(或解均为增解).
综上所述:当为直角三角形时,的值为1或4.
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【题目】如图1,小明将一张长为4、宽为3的矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图2),将这两张三角纸片摆成如图3的形状,但点B、C、F、D在同一条直线上,且点C与点F重合(在图3至图6中统一用点F表示).
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决.
(1)将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4中的位置,其中点B与点F 重合,请你求出平移的距离 ;
(2)在图5中若∠GFD=60°,则图3中的△ABF绕点 按 方向旋转 到图5的位置;
(3)将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置,AB1交DE于点H,试问:△AEH和△HB1D的面积大小关系.说明理由.
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【题目】某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件.已知产销两种产品的有关信息如表:
其中a为常数,且5≤a≤7.
(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为万元、万元,直接写出、与x的函数关系式;(注:年利润=总售价﹣总成本﹣每年其他费用)
(2)分别求出产销两种产品的最大年利润;
(3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?请说明理由.
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【题目】24如图,P是弧AB所对弦AB上一动点,过点P作PC⊥AB交弧AB于点C,取AP中点D,连接CD.已知AB=6cm,设A,P两点间的距离为xcm,C.D两点间的距离为ycm.(当点P与点A重合时,y的值为0;当点P与点B重合时,y的值为3)
小凡根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小凡的探究过程,请补充完整:
(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y/cm | 0 | 2.2 |
| 3.2 | 3.4 | 3.3 | 3 |
(2)建立平面直角坐标系,描出补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(3)结合所画出的函数图象,解决问题:当∠C=30°时,AP的长度约为 cm.
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【题目】如图,已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A,B两点,点A的横坐标是2,点B的纵坐标是-2.
(1)求一次函数的解析式;
(2)求△AOB的面积.
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【题目】如图,一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数的图象交于点A(﹣1,m),点B(n,﹣1).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)当y1>y时,直接写出x的取值范围;
(3)求△AOB的面积.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A(a,-2),B两点.
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标;
(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点,过点P作y轴的平行线,交直线AB于点C,连接PO,若△POC的面积为3,求点P的坐标.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AB=4,点P、Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C、点B重合),且保持∠APQ=90°,CQ=1,则线段BP的长为_____.
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