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【题目】如图,已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C

(1)求此二次函数解析式;

(2)点D为抛物线的顶点,试判断△BCD的形状,并说明理由;

(3)将直线BC向上平移t(t>0)个单位,平移后的直线与抛物线交于M,N两点(点M在y轴的右侧),当△AMN为直角三角形时,求t的值.

【答案】(1);(2)△BCD为直角三角形,理由见解析;(3)当△AMN为直角三角形时,t的值为1或4.

【解析】

1)根据点AB的坐标,利用待定系数法即可求出二次函数解析式;

2)利用配方法及二次函数图象上点的坐标特征,可求出点CD的坐标,利用两点间的距离公式可求出CDBDBC的长,由勾股定理的逆定理可证出△BCD为直角三角形;

3)根据点BC的坐标,利用待定系数法可求出直线BC的解析式,进而可找出平移后直线的解析式,联立两函数解析式成方程组,通过解方程组可找出点MN的坐标,利用两点间的距离公式可求出AM2AN2MN2的值,分别令三个角为直角,利用勾股定理可得出关于t的无理方程,解之即可得出结论.

1)将代入,得:

,解得:

此二次函数解析式为

2为直角三角形,理由如下:

顶点的坐标为

时,

的坐标为

的坐标为

为直角三角形.

3)设直线的解析式为

代入,得:

,解得:

直线的解析式为

将直线向上平移个单位得到的直线的解析式为

联立新直线与抛物线的解析式成方程组,得:

解得:

的坐标为,点的坐标为

的坐标为

为直角三角形,

分三种情况考虑:

①当时,有,即

整理,得:

解得:(不合题意,舍去);

②当时,有,即

整理,得:

解得:(不合题意,舍去);

③当时,有,即

整理,得:

该方程无解(或解均为增解).

综上所述:当为直角三角形时,的值为14

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小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决.

1)将图3中的ABF沿BD向右平移到图4的位置,其中点B与点F 重合,请你求出平移的距离

2在图5中若∠GFD60°,则图3中的ABF绕点 方向旋转 到图5的位置;

3)将图3中的ABF沿直线AF翻折到图6的位置,AB1DE于点H试问:AEHHB1D的面积大小关系.说明理由.

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(2)分别求出产销两种产品的最大年利润

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【题目】24如图,P是弧AB所对弦AB上一动点,过点PPCAB交弧AB于点C,取AP中点D,连接CD.已知AB=6cm,设AP两点间的距离为xcmCD两点间的距离为ycm.(当点P与点A重合时,y的值为0;当点P与点B重合时,y的值为3)

小凡根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小凡的探究过程,请补充完整:

(1)通过取点、画图、测量,得到了xy的几组值,如下表:

x/cm

0

1

2

3

4

5

6

y/cm

0

2.2

   

3.2

3.4

3.3

3

(2)建立平面直角坐标系,描出补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;

(3)结合所画出的函数图象,解决问题:当∠C=30°时,AP的长度约为   cm

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(2)求△AOB的面积.

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【题目】如图,一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数的图象交于点A(﹣1,m),B(n,﹣1).

(1)求反比例函数的解析式;

(2)y1y时,直接写出x的取值范围

(3)求△AOB的面积

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