Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，且∠1=∠2．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若∠AOB=60°，AB=8，求BC的长．

Answer 1

考点：矩形的判定,平行四边形的性质

专题：

分析：（1）由“对角线相等的平行四边形是矩形”进行证明；
（2）利用矩形的性质推知∠1=∠2=30°，通过解直角△ABC来求BC的长度．

解答：（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=

1

2

AC，OB=

1

2

BD．
又∵∠1=∠2，
∴OB=OC，
∴BD=AC，
∴?ABCD是矩形；

（2）∵由（1）知，?ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
又∵∠AOB=60°，
∴∠1=30°，
∴∠2=30°，
∴BC=AB•cot30°=8

3

．即BC的长度是8

3

．

点评：本题考查了矩形的判定与平行四边形的性质．此题利用了“平行四边形的对角线相互平分”和“对角线相等的平行四边形是矩形”来证明平行四边形ABCD是矩形的．