Question

15．如图，以正方形ABCD的CD边长作等边△DCE，AC和BE交于点F，连接DF．
（1）求∠CBE的度数；
（2）求证：AF=EF．

Answer 1

分析 （1）由正方形和等边三角形的性质得出BC=CE，∠BCE=150°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果；
（2）由SAS证明△BCF≌△CDF，得出∠CBF=∠CDF=15°，求出∠ADF=∠EDF，由SAS证明△ADF≌△EDF，即可得出结论．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠BCF=∠DCF=45°，
∵△DCE是等边三角形，
∴DC=CE=DE，∠CDE=∠DCE=∠DEC=60°，
∴BC=CE，∠BCE=90°+60°=150°，
∴∠CBE=∠CEB=$\frac{1}{2}$（180°-150°）=15°；
（2）证明：在△BCF和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCF=∠DCF}&{\;}\\{CF=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△CDF（SAS），
∴∠CBF=∠CDF=15°，
∴∠ADF=90°-15°=75°，∠EDF=60°+15°=75°，
∴∠ADF=∠EDF，
在△ADF和△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}&{\;}\\{∠ADF=∠EDF}&{\;}\\{DF=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△EDF（SAS），
∴AF=EF．

点评 本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．