Question

在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=3，点D是AB上一动点，连接CD．若CD=

3

，则∠ACD=

15°或75

°．

Answer 1

分析：根据题意画出相应的图形，过C作CE垂直于AB，垂足为E点，分两种情况考虑：（i）当点D在E的左边时，由AC=BC，CE为高，根据三线合一得到E为AB的中点，再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得出CE=AE=BE，由AB的长求出CE的长，同时得到三角形ACE及三角形BCE都为等腰直角三角形，可得出∠ACE为45°，在直角三角形CED中，由CD及CE的长，利用勾股定理求出DE的长，可得出DE为CD的一半，根据直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，可得到此直角边所对的角为30°，得到∠ECD为30°，利用∠ACE-∠ECD可求出∠ACD的度数；（ii）当点D在点E的右边时，同理由∠ACE+∠ECD可求出∠ACD的度数，综上，得到所有满足题意的∠ACD的度数．

解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

过C作CE⊥AB，垂足为点E，
分两种情况考虑：
（i）当点D在点E的左边时，
∵等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CE⊥AB，
∴E为AB的中点，又AB=3，
∴CE=AE=BE=

1

2

AB=

3

2

，
∴△ACE和△BCE都为等腰直角三角形，
∴∠ACE=45°，
在Rt△CDE中，CD=

3

，CE=

3

2

，
由勾股定理得：DE=

CD2-CE2

=

3

2

，
∴DE=

1

2

CD，
∴∠ECD=30°，
则∠ACD=∠ACE-∠ECD=45°-30°=15°；
（ii）当点D在点E的右边时，
同理可得∠ACD=∠ACE+∠ECD=45°+30°=75°，
综上，∠ACD=15°或75°．
故答案为：15°或75．

点评：此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，根据题意画出相应的图形，借助图形来解决问题，同时本题有两解，注意不要漏解．