Question

如图，坐标原点O在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠DAC=∠ECA=90°，OD⊥OE，AD=OC=3，CE=6，点P为线段AO上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线OE与点Q；
（1）求D、E的坐标；
（2）当点P与A，O两点不重合时，求

DP

PQ

的值；
（3）当点P从A点运动到AO的中点时，求线段DQ的中点移动路径（线段）的图象的解析式，并写出自变量的取值范围．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）由OD垂直于OE，得到一对角互余，再由∠ECA=90°，得到直角三角形EOC两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AD=OC，利用AAS得到三角形AOD与三角形EOC全等，利用全等三角形对应边相等得到AO=CE=6，再由OC=AD=3，即可确定出D与E的坐标；
（2）连接DQ，由DP垂直于PQ，DO垂直于OE，得到D，P，O，Q四点共圆，利用圆周角定理得到∠DQP=∠DOA，再直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义即可求出所求式子的值；
（3）当点P与点A重合时，DQ的中点即是DO的中点M，假设当点P在AO中点时，DQ的中点为点N，则线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△ODQ的中位线MN，根据D坐标确定出M坐标，根据E坐标确定出N坐标，设直线MN解析式为y=kx+b，将M，N坐标代入求出k与b的值，确定出直线MN解析式，即可得出线段DQ的中点移动路径（线段）的图象的解析式，以及自变量的取值范围．

解答：解：（1）∵OD⊥OE，
∴∠AOD+∠COE=180°-90°=90°，
∵∠ECA=90°，
∴∠COE+∠E=180°-90°=90°，
∴∠AOD=∠E，
在△AOD和△CEO中，

∠DAC=∠OCE=90° ∠AOD=∠E AD=OC

，
∴△AOD≌△CEO（AAS），
∴AO=CE=6，
∵OC=AD=3，
∴D（-6，3），E（3，6）；
（2）连结DQ，如图1所示，

∵OD⊥OE，DP⊥PQ，
∴∠DPQ=∠DBQ=90°，
∴点D、P、O、Q都在以DQ为直径的圆上，
∴∠DQP=∠DOA，
∵tan∠DQP=tan∠DOA，
∴

DP

PQ

=

DA

AO

=

3

6

=

1

2

；
（3）当点P与点A重合时，DQ的中点即是DO的中点M，

假设当点P在AO中点时，DQ的中点为点N，则线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△ODQ的中位线MN，
∵点D（-6，3），
∴点M（-3，1.5），
∵当点P在AO中点时，点Q与点E重合．
∴点E（3，6），
∴点N（-1.5，4.5），
设直线MN的解析式为y=kx+b，
把点M、N代入得：

-3k+b=1.5 -1.5k+b=4.5

，
解得：k=2，b=7.5，
∴直线MN解析式为y=2x+7.5，
则线段DQ中点移动路径的图象解析式为y=2x+7.5（-3≤x≤-1.5）．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法确定一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第三问的关键．