Question

19．如图．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M、N是斜边AB的三等分点，若CM²+CN²=1，则AB的值．

Answer 1

分析 利用平行线分线段成比例定理得出AF=FD=DC=ME，进而利用勾股定理得出答案．

解答 解：过M作MD⊥AC于点D，设AC=3x，BC=3y，
∵点M、N是斜边AB的三等分点，
∴AF=FD=DC=ME=x，FN=y，MD=2y，
NC²=FN²+FC²，MC²=ME²+EC²，
故CM²+CN²=FN²+FC²+ME²+EC²=1，
则y²+（2x）²+x²+（2y）²=1，
整理得：x²+y²=$\frac{1}{5}$
AB²=（3x）²+（3y）²=9（x²+y²）=$\frac{9}{5}$，
故AB=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 此题主要考查了勾股定理以及平行线分线段成比例定理，正确利用未知数表示出各边长是解题关键．