Question

如图，在△ABC中，∠A=45°，点D为AC中点，DE⊥AB于点E，BE=BC，BD=，则AC的长为________．

Answer 1

4
分析：设AE=x（x＞0），BE=BC=y（y＞0），在Rt△BDE中，利用勾股定理可得x²+y²=87…①，在△ABC中，利用余弦定理可化简出y=x…②，联合①②可求出x的值，继而得出AC的长．
解答：设AE=x（x＞0），BE=BC=y（y＞0），
∵∠A=45°，DE⊥AB，
∴AE=DE=x，
在Rt△BDE中，BD²=BE²+DE²，即x²+y²=87…①，
在Rt△ADE中，AD==x，
又∵D为AC中点，
∴AC=2x，
在△ABC中，由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB×AC×cosA，
即y²=（x+y）²+8x²-2（x+y）×2x×，
整理得：5x²-2xy=0，
解得：y=x…②，
将②代入①得：x=2，
∴AC=2x=4．
故答案为：4．
点评：本题考查了余弦定理及勾股定理的知识，解答本题需要同学们掌握余弦定理的表达式，勾股定理的表达式，综合性较强，注意将所学知识融会贯通．