Question

已知如下图，△ABC中，∠C＝90°，P是AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC边于点E，点E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，求y与x之间的函数关系式，并求自变量的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

简解：根据勾股定理得BC＝6． 　　∵∠EPA＝∠BCA＝90°，∠A为公共角， 　　∴△AEP∽△ABC， 　　∴＝＝， 　　即＝＝， 　　∴AE＝x，PE＝x， 　　∴EC＝8－x，BP＝10－x 　　∴y＝PE＋EC＋CB＋BP＝x＋8－x＋6＋10－x＝－x＋24． 　　若点E与点C重合，根据双垂直图形性质，可得CA2＝AP·AB，求得AP＝． 　　因点P与点A不重合，点E与点C不重合，因此自变量x的取值范围是0＜x＜． 　　∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋24(0＜x＜)． 　　分析：由勾股定理可知BC＝6，又知BP＝AB－AP＝10－x，只需把PE、EC用数量或含自变量x的代数式表示出来，四边形PECB的周长y与x之间的函数关系式便确定了．通过△AEP∽△ABC的三边对应成比例可达到预想的目的．