Question

20．如图已知A₁，A₂，A₃，…A_n是x轴上的点，且OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=…=A_n-1A_n=1，分别过点A₁，A₂，A₃，…A_n′作x轴的垂线交二次函数y=$\frac{1}{2}$x²（x＞0）的图象于点P₁，P₂，P₃，…Pn，若记△OA₁P₁的面积为S₁，过点P₁作P₁B₁⊥A₂P₂于点B₁，记△P₁B₁P₂的面积为S₂，过点P₂作P₂B₂⊥A₃P₃于点B₂，记△P₂B₂P₃的面积为S₃，…依次进行下去，则S₃=$\frac{5}{4}$，最后记△P_n-1B_n-1P_n（n＞1）的面积为S_n，则S_n==$\frac{2n-1}{4}$．

Answer 1

分析 先根据二次函数图象上点的坐标特征，求出P₁（1，$\frac{1}{2}$），则根据三角形面积公式计算出S₁=$\frac{1}{4}$，同样可得S₂=$\frac{3}{4}$；S₃=$\frac{5}{4}$，S₄=$\frac{7}{4}$，所有相应三角形的面积等于分母为4，分子为奇数的分式，从而得到
S_n=$\frac{2n-1}{4}$．

解答 解：当x=1时，y=$\frac{1}{2}$x²=$\frac{1}{2}$，则P₁（1，$\frac{1}{2}$），所以S₁=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$；
当x=2时，y=$\frac{1}{2}$x²=2，则P₂（2，2），所以S₂=$\frac{1}{2}$×1×（2-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$；
当x=3时，y=$\frac{1}{2}$x²=$\frac{9}{2}$，则P₃（3，$\frac{9}{2}$），所以S₃=$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{9}{2}$-2）=$\frac{5}{4}$，
同样方法可得S₄=$\frac{7}{4}$，
所以S_n=$\frac{2n-1}{4}$．
故答案为$\frac{5}{4}$，$\frac{2n-1}{4}$．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了三角形面积公式．