Question

设都是实数，且．我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．

（1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

（2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式；

（3）若实数c，d满足，且，当二次函数是闭区间上的“闭函数”时，求的值．

Answer 1

 解：（1）是；

由函数的图象可知，当时，函数值随着自变量的增大而减少，而当时，；时，，故也有，

所以，函数是闭区间上的“闭函数”．

（2）因为一次函数是闭区间上的“闭函数”，所以根据一次函数的图象与性质，必有：

①当时，，解之得．

∴一次函数的解析式为．

②当时，，解之得．

∴一次函数的解析式为．…

故一次函数的解析式为或．

（3）由于函数的图象开口向上，且对称轴为，顶点为，由题意根据图象，分以下两种情况讨论：

①当时，必有时，且时，，

即方程必有两个不等实数根，解得，．

而0，6分布在2的两边，这与矛盾，舍去；

②当时，必有函数值的最小值为，

由于此二次函数是闭区间上的“闭函数”，故必有，

从而有，而当时，，即得点；

又点关于对称轴的对称点为，

由“闭函数”的定义可知必有时，，即 ，解得，．

故可得，符合题意．

综上所述，为所求的实数．