Question

【题目】如图，已知抛物线C1：y＝a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相较于A，B两点（点A在点B的左侧），且点B的坐标为（1，0）

（1）求抛物线C1的函数解析式；

（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P，M关于点O成中心对称时．①求点M的坐标；②求抛物线C3的解析式；

（3）在（2）的条件下，设抛物线C3与x轴的正半轴交于点D，在直线PD的上方的抛物线C3上，是否存在点Q使得△PDQ的面积最大？若存在，求出当点Q的横坐标为何值时△PDQ面积最大，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线C1的表达式为：y＝（x+2）2﹣5；

（2）①点M（2，5）；②抛物线C3表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+5；

（3）S有最大值，此时x＝；Q的横坐标为．

【解析】

（1）将点B的坐标代入抛物线C1的表达式并解得：a＝，即可求解；

（2）点P（2，5），则点M（2，5），则抛物线C3表达式中的a值为，点M（2，5），即可求解；

（3）△PDQ的面积S＝×QH×（xD﹣xP）＝（5+2）[﹣（x﹣2）2+5﹣x+]＝﹣x2+x+，即可求解．

解：（1）将点B的坐标代入抛物线C1的表达式并解得：a＝，

故抛物线C1的表达式为：y＝（x+2）2﹣5；

（2）①∵点P（﹣2，﹣5），则点M（2，5）；

②抛物线C3表达式中的a值为﹣，点M（2，5），

故抛物线C3表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+5；

（3）y＝﹣（x﹣2）2+5，令y＝0，则x＝﹣1或5，故点D（5，0），

设PD直线为y=kx+b（k≠0）

将点P（﹣2，﹣5）、D（5，0）的坐标代入一次函数表达式得

解得：

∴直线PD的表达式为：y＝x﹣，

过点Q作y轴的平行线交直线PD于点H，

设点Q[x，﹣（x﹣2）2+5]，则点H（x，x﹣），

∴△PDQ的面积S＝×QH×（xD﹣xP）

＝（5+2）[﹣（x﹣2）2+5﹣x+]

＝﹣x2+x+，

∵﹣＜0，

∴S有最大值，此时x＝；

Q的横坐标为．