【题目】如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动(不与点A,B重合),∠DAM=45°,点F在射线AM上,且,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论:①∠ECF=45°;②的周长为;③ ;④的面积的最大值.其中正确的结论是____.(填写所有正确结论的序号)
【答案】①④
【解析】
①正确.如图1中,在BC上截取BH=BE,连接EH.证明△FAE≌△EHC(SAS),即可解决问题;
②③错误.如图2中,延长AD到H,使得DH=BE,则△CBE≌△CDH(SAS),再证明△GCE≌△GCH(SAS),即可解决问题;
④正确.设BE=x,则AE=a-x,AF=,构建二次函数,利用二次函数的性质解决最值问题.
解:如图1,在BC上截取BH=BE,连接EH.
∵BE=BH,∠EBH=90°,
∴EH=BE,∵AF=BE,∴AF=EH,
∵∠DAM=∠EHB=45°,∠BAD=90°,
∴∠FAE=∠EHC=135°,
∵BA=BC,BE=BH,
∴AE=HC,∴△FAE≌△EHC(SAS),
∴EF=EC,∠AEF=∠ECH,
∵∠ECH+∠CEB=90°,∴∠AEF+∠CEB=90°,∴∠FEC=90°,
∴∠ECF=∠EFC=45°,故①正确,
如图2中,延长AD到H,使得DH=BE,则△CBE≌△CDH(SAS),
∴∠ECB=∠DCH,∴∠ECH=∠BCD=90°,∴∠ECG=∠GCH=45°,
∵CG=CG,CE=CH,∴△GCE≌△GCH(SAS),∴EG=GH,
∵GH=DG+DH,DH=BE,
∴EG=BE+DG,故③错误,
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a,故②错误,
设BE=x,则AE=a-x,AF=,
∴∴,
∴当时,的面积有最大值,最大值是,④正确;
故答案为:①④.
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【题目】如图,直线与轴、轴分别交于两点,抛物线经过点,与轴另一交点为,顶点为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在轴上找一点,使的值最小,求的最小值;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点,使得?若存在,求出点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=4,b=5,则该矩形的面积为( )
A.50B.40C.30D.20
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,E是AD上的一点,点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC,运动到点C时停止;点Q从点B沿BC运动到点C时停止,速度均为每秒1个单位长度,如果点P,Q同时开始运动,设运动时间为t,△BPQ的面积为y,已知y与t的函数图象如图2所示,以下结论:①BC=10; ②cos∠ABE=;③当t=12时,△BPQ是等腰三角形;④当14≤t≤20时,y=110﹣5t,其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】每年5月的第二个星期日即为母亲节,“父母恩深重,恩怜无歇时”,许多市民喜欢在母亲节为母亲送花,感恩母亲,祝福母亲.今年节日前夕,某花店采购了一批鲜花礼盒,经分析上一年的销售情况,发现该鲜花礼盒的该周销售量y(盒)是销售单价x(元)的一次函数,已知销售单价为70元/盒时,销售量为160盒;销售单价为80元/盒时,销售量为140盒.
(1)求该周销售量y(盒)关于销售单价x(元)的一次函数解析式;
(2)若按去年方式销售,已知今年该鲜花礼盒的进价是每盒50元,商家要求该周至少要卖110盒,请你帮店长算一算,要完成商家的销售任务,销售单价不能超过多少元?
(3)在(2)的条件下,试确定销售单价x为何值时,花店该周销售鲜花礼盒获得的利润最大?并求出获得的最大利润.
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【题目】如图,直线y=2x+6与反比例函数的图象交于点A(1,m),与x轴交于点B,平行于x轴的直线y=n(0<n<6)交反比例函数的图象于点M,交AB于点N,连接BM.
(1)求m的值和反比例函数的表达式;
(2)观察图象,直接写出当x>0时,不等式2x+6-<0的解集;
(3)当n为何值时,△BMN的面积最大?最大值是多少?
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【题目】如图,在建筑物AB上,挂着35 m长的宣传条幅AE,从另一建筑物CD的顶部D处看条幅顶端A处,仰角为45°,看条幅底端E处,俯角为37°.求两建筑物间的距离BC.
(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8, tan37°≈0.75)
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【题目】团结村在今年退耕还林活动中,计划植树160亩,全村在完成植树40亩后,某环保组织加入村民植树活动,并且该环保组织植树的速度是全村植树速度的1.5倍,整个植树过程共用了11天完成.
(1)全村每天植树多少亩?
(2)如果全村植树每天需2000元工钱,环保组织是义务植树,因此实际工钱比计划节约多少元?
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,PC切⊙O于点P,过A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D,连接PA、PB.
(1)求证:AP平分∠CAB;
(2)若P是直径AB上方半圆弧上一动点,⊙O的半径为2,则
①当弦AP的长是_____时,以A,O,P,C为顶点的四边形是正方形;
②当的长度是______时,以A,D,O,P为顶点的四边形是菱形.
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