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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,PC切⊙O于点P,过A作直线ACPC交⊙O于另一点D,连接PAPB

(1)求证:AP平分∠CAB

(2)P是直径AB上方半圆弧上一动点,⊙O的半径为2,则

①当弦AP的长是_____时,以AOPC为顶点的四边形是正方形;

②当的长度是______时,以ADOP为顶点的四边形是菱形.

【答案】(1)证明见解析;(2)2;②ππ

【解析】

(1)利用切线的性质得OPPC,再证明ACOP得到∠1=∠3,加上∠2=∠3,所以∠1=∠2

(2)①当∠AOP90°,根据正方形的判定方法得到四边形AOPC为正方形,从而得到AP2

②根据菱形的判定方法,当ADAPOPOD时,四边形ADOP为菱形,所以AOPAOD为等边三角形,然后根据弧长公式计算的长度.当ADDPPOOA时,四边形ADPO为菱形,AODDOP为等边三角形,则∠AOP120°,根据弧长公式计算的长度.

(1)PC切⊙O于点P

OPPC

ACPC

ACOP

∴∠1=∠3

OPOA

∴∠2=∠3

∴∠1=∠2

AP平分∠CAB

(2)①当∠AOP90°,四边形AOPC为矩形,而OAOP,此时矩形AOPC为正方形,

APOP2

②当ADAPOPOD时,四边形ADOP为菱形,AOPAOD为等边三角形,则∠AOP60°的长度==π

ADDPPOOA时,四边形ADPO为菱形,AODDOP为等边三角形,则∠AOP120°的长度=

故答案为2ππ

练习册系列答案
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时间t(天)

0<t≤50

50<t≤100

销量(kg)

200

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