【题目】已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于点A,B两点,交y轴于C点,抛物线的对称轴与x轴交于H点,分别以OC、OA为边作矩形AECO.
(1)求直线AC的解析式;
(2)如图2,P为直线AC上方抛物线上的任意一点,在对称轴上有一动点M,当四边形AOCP面积最大时,求|PM﹣OM|的最大值.
(3)如图3,将△AOC沿直线AC翻折得△ACD,再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'.使得点A′、C'在直线AC上,是否存在这样的点D′,使得△A′ED′为直角三角形?若存在,请求出点D′的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) y=x+2;(2) 点M坐标为(﹣2,)时,四边形AOCP的面积最大,此时|PM﹣OM|有最大值; (3)存在,D′坐标为:(0,4)或(﹣6,2)或(,).
【解析】
(1)令x=0,则y=2,令y=0,则x=2或﹣6,求出点A、B、C坐标,即可求解;
(2)连接OP交对称轴于点M,此时,|PM﹣OM|有最大值,即可求解;
(3)存在;分①A′D′⊥A′E;②A′D′⊥ED′;③ED′⊥A′E三种情况利用勾股定理列方程求解即可.
(1)令x=0,则y=2,令y=0,则x=2或﹣6,∴A(﹣6,0)、B(2,0)、C(0,2),函数对称轴为:x=﹣2,顶点坐标为(﹣2,),C点坐标为(0,2),则过点C的直线表达式为:y=kx+2,将点A坐标代入上式,解得:k,则:直线AC的表达式为:yx+2;
(2)如图,过点P作x轴的垂线交AC于点H.
四边形AOCP面积=△AOC的面积+△ACP的面积,四边形AOCP面积最大时,只需要△ACP的面积最大即可,设点P坐标为(m,m2m+2),则点G坐标为(m,m+2),S△ACPPGOA(m2m+2m﹣2)6m2﹣3m,当m=﹣3时,上式取得最大值,则点P坐标为(﹣3,).连接OP交对称轴于点M,此时,|PM﹣OM|有最大值,直线OP的表达式为:yx,当x=﹣2时,y,即:点M坐标为(﹣2,),|PM﹣OM|的最大值为:=.
(3)存在.
∵AE=CD,∠AEC=∠ADC=90°,∠EMA=∠DMC,∴△EAM≌△DCM(AAS),∴EM=DM,AM=MC,设:EM=a,则:MC=6﹣a.在Rt△DCM中,由勾股定理得:MC2=DC2+MD2,即:(6﹣a)2=22+a2,解得:a,则:MC,过点D作x轴的垂线交x轴于点N,交EC于点H.在Rt△DMC中,DHMCMDDC,即:DH2,则:DH,HC,即:点D的坐标为();
设:△ACD沿着直线AC平移了m个单位,则:点A′坐标(﹣6),点D′坐标为(),而点E坐标为(﹣6,2),则==36,==,==.若△A′ED′为直角三角形,分三种情况讨论:
①当+=时,36+=,解得:m=,此时D′()为(0,4);
②当+=时,36+=,解得:m=,此时D′()为(-6,2);
③当+=时,+=36,解得:m=或m=,此时D′()为(-6,2)或(,).
综上所述:D坐标为:(0,4)或(﹣6,2)或(,).
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【题目】如图,已知…是轴上的点,且…,分别过点…作轴的垂线交反比例函数的图象于点…,过点作于点,过点作于点……记的面积为,的面积为……的面积为,则…等于_________.
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【题目】一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系.若第二列快车也从甲地出发驶往乙地,速度与第一列快车相同.在第一列快车与慢车相遇0.5小时后,第二列快车与慢车相遇.则第二列快车比第一列快车晚出发__小时.
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【题目】“才饮长沙水,又食武昌鱼”.因一代伟人毛泽东的佳句,“鄂州武昌鱼”名扬天下.某网店专门销售某种品牌真空包装的武昌鱼熟食产品,成本为30元/盒,每天销售y(盒)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系,如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)如果规定每天这种武昌鱼熟食产品的销售量不低于240盒,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大,最大利润是多少?
(3)该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为了保证捐款后每天剩余利润不低于3 600元,试确定这种武昌鱼熟食产品销售单价的范围.
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【题目】一次函数的图象经过点(﹣2,12)和(3,﹣3).
(1)求这个一次函数的表达式.
(2)画出这条直线的图象.
(3)设这条直线与两坐标轴的交点分别为A、B,求△AOB的面积.
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,PC切⊙O于点P,过A作直线AC⊥PC交⊙O于另一点D,连接PA、PB.
(1)求证:AP平分∠CAB;
(2)若P是直径AB上方半圆弧上一动点,⊙O的半径为2,则
①当弦AP的长是_____时,以A,O,P,C为顶点的四边形是正方形;
②当的长度是______时,以A,D,O,P为顶点的四边形是菱形.
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【题目】如图,AB,BC是⊙O的弦,∠B=60°,点O在∠B内,点D为上的动点,点M,N,P分别是AD,DC,CB的中点.若⊙O的半径为2,则PN+MN的长度的最大值是________.
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【题目】某县从全县九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试(把测试结果分为四个等级:级:优秀;级:良好;级:及格;级:不及格),并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)本次抽样测试的学生人数是 ;
(2)如图中的度数是 ,并把如图条形统计图补充完整;
(3)测试老师想从4位同学(分别记为,其中为小明)中随机选择两位同学了解训练情况,请用列表或画树形图的方法求出选中小明概率.
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