Question

．阅读：如图1，点P（x，y）在平面直角坐标中，过点P作PA⊥x轴，垂足为A，将点P绕垂足A顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得到对应点P′，我们称点P到点P′的运动为倾斜α运动．例如：点P（0，2）倾斜30°运动后的对应点为P′（1，）．

图形E在平面直角坐标系中，图形E上的所有点都作倾斜α运动后得到图形E′，这样的运动称为图形E的倾斜α运动．

理解

（1）点Q（1，2）倾斜60°运动后的对应点Q′的坐标为　　　　　　；

（2）如图2，平行于x轴的线段MN倾斜α运动后得到对应线段M′N′，M′N′与MN平行且相等吗？说明理由．

应用：（1）如图3，正方形AOBC倾斜α运动后，其各边中点E，F，G，H的对应点E′，F′，G′，H′构成的四边形是什么特殊四边形：　　　　　　；

（2）如图4，已知点A（0，4），B（2，0），C（3，2），将△ABC倾斜α运动后能不能得到Rt△A′B′C′，且∠A′C′B′为直角，其中点A′，B′，C′为点A，B，C的对应点．请求出cosα的值．

　

Answer 1

【考点】几何变换综合题．

【分析】理解：

（1）根据题目中称点P到P′的运动为倾α运动的定义来求Q′的坐标；

（2）根据题目中图形E的倾α运动的定义可以判断M′N′与MN的关系；

应用：

（1）参考理解（2）可得，正方形AOBC旋转后形成菱形，菱形的四边中点组成的四边形是矩形；

（2）先求出A′B′=4=OA′，利用三角函数求得cosα的值．

【解答】解：（1）如图1，

过点Q作QA⊥x轴，垂足为A，过旋转Q′作x轴的垂线，垂足为B，

在Rt△ABQ′中，∠Q′AB=30°，BQ′=1，

由勾股定理得AB=，

∴OB=1+，

∴Q′的坐标为（1+，1）．故答案为：（1+，1）．

（2）M′N′与MN平行且相等，

理由如下：

如图2，

分别过点M、N作MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B，

∴MN∥AB，且MN=AB，

由定义可知，M′A∥N′B，M′A=N′B，

∴四边M′ABN′是平行四边形，

∴M′N′∥AB，M′N′=AB，

∴M′N′与MN平行且相等．

应用：（1）由理解（2）可得，正方形AOBC旋转后形成菱形，

菱形的四边中点组成的四边形是矩形．

故答案为：矩形；

（2）能，cosα=．

如图3，

设AB的中点为D，

∴D点坐标为（1，2），

∴CD∥x轴，且CD=2，

∵D点对应点D′是A′B′中点，C′D′=2，

∴C′D′=A′B′，

∴A′B′=4=OA′，

∵∠α=∠OA′B′，

∴cosα=．

【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了勾股定理，平行四边形的性质和判定，菱形，正方形，矩形的性质和判定，解本题的关键是旋转前后找到相等的量．