Question

已知：在四边形ABCD中，AB=1，E、F、G、H分别时AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设四边形EFGH的面积为S，AE=x（0≤x≤1）．
（1）如图①，当四边形ABCD为正方形时，
①求S关于x的函数解析式，并求S的最小值S₀；
②在图②中画出①中函数的草图，并估计S=0.6时x的近似值（精确到0.01）；
（2）如图③，当四边形ABCD为菱形，且∠A=30°时，四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）①在Rt△AEH中，AE=x，AH=1-x，
则S=HE²=x²+（1-x）²
=2x²-2x+1=2（x-）²+
∴当x=时，S₀=
②列表：

x	0	0.3	0.5	0.7	1
y		0.58	0.5	0.58	0

在直角坐标系中描点、画图（图2中粗线）．
（注：作图时，不列对应值表不扣分）
观察函数的图象，可知当S=0.6时，x≈0.27和x≈0.73．
验证：当x=0.27时，S=0.6029；当x=0.28时，S=0.5984．
从而取x≈0.28．同理取x≈0.72．

（2）四边形EFGH的面积存在最小值．
理由如下：
由条件，易证△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH
作HM⊥AE于M，作FN⊥EB且FN交EB的延长线于N
∵AE=x，则AH=1-x
又在Rt△AMH中，∠HAM=30°
∴HM=AH=（1-x）
同理得FN=BF=x
∴S_△AEH=AE•HM=x（1-x），S_△EBF=EB•FN=x（1-x）
又∵S_ABCD=
∴S=-4×x（1-x）=x²-x+=（x-）²+
∴当x=时，四边形EFGH的面积存在最小值．
分析：（1）①四边形ABCD为正方形，易得四边形EFGH为正方形，那么面积S=HE²，可求得二次函数的最值；②看二次函数上y=0.6时对应的x的值即可．
（2）易得△AEH≌△CGF，△EBF≌△GDH．那么四边形EFGH的面积=菱形ABCD的面积-2（S_△AHE+S_△EBF）利用30°的三角函数值求得两三角形边上的高即可求解．
点评：本题考查特殊四边形与二次函数的综合应用．注意二次函数中一个y值有可能对应两个x值．