Question

2．综合与实践
问题情境
如图，同学们用矩形纸片ABCD开展数学探究活动，其中AD=8，CD=6．
操作计算
（1）如图（1），分别沿BE，DF剪去Rt△ABE和Rt△CDF两张纸片，如果剩余的纸片BEDF是菱形，求AE的长；
操作探究
把矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△C′DA′两张纸片．
（2）将两张纸片如图（2）摆放，点C和点C′重合，点B，C，D在同一条直线上，连接A′A，记A′A的中点为M，连接BM，MD，发现△BMD是等腰直角三角形，请证明；
（3）如图（3），将两张纸片叠合在一起，然后将△A′DC′纸片绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），连接AC′和A′C，探究并直接写出线段AC′与A′C的关系．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AB=CD=6，∠A=90°，由菱形的性质得出BE=DE=AD-AE=8-AE，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）连接MC，证出△ACA'是等腰直角三角形，得出∠CA'A=45°，由直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出A'M=CM=AM，∠MCA=45°，CM⊥AA'，证出∠BCM=∠DA'M，由SAS证明△BCM≌△DA'M，得出BM=DM，∠BMC=∠DMA'，由角的雇佣关系证出∠BMD=90°，即可得出结论；
（3）延长AC'、A'C交于点M，由旋转的性质得：BC'=BA，BA'=BC，∠A'BC=∠ABC，∠BA'C=∠BC'A，证出∠BAC=∠BC'A=∠BCA'=∠BA'C，由四边形内角和定理得出∠A'BC'+∠M=180°，证出∠M=90°，得出AC'⊥A'C，证明△ABC'∽△C'BA'，得出对应边成比例$\frac{AC′}{A′C}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{4}$，即可得出AC'=$\frac{3}{4}$A'C．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，CD=6，
∴AB=CD=6，∠A=90°，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BE=DE=AD-AE=8-AE，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB²+AE²=BE²，
即6²+AE²=（8-AE）²，
解得：AE=$\frac{7}{4}$；
（2）证明：连接MC，如图2所示：
根据题意得：△ABC≌△CDA'，∠CDA'=90°，
∴AC=A'C，∠BCA=∠CA'D，∠CA'D+∠A'CD=90°，
∴∠BCA+∠A'CD=90°，
∵点B，C，D在同一条直线上，
∴∠ACA'=90°，
∴△ACA'是等腰直角三角形，
∴∠CA'A=45°，
∵M是AA'的中点，
∴A'M=CM=AM，∠MCA=45°，CM⊥AA'，
∵∠BCA=∠CA'D，
∴∠BCA+∠MCA=∠CA'D+∠CA'A，
∴∠BCM=∠DA'M，
在△BCM和△DA'M中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DA'}&{\;}\\{∠BCM=∠DA′M}&{\;}\\{CM=A′M}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△DA'M（SAS），
∴BM=DM，∠BMC=∠DMA'，
∵∠CMD+∠DMA'=90°，
∴∠CMD+∠BMC=90°，
∴∠BMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形；
（3）解：AC'⊥A'C，AC'=$\frac{3}{4}$A'C，理由如下：
延长AC'、A'C交于点M，如图3所示：
由旋转的性质得：BC'=BA，BA'=BC，∠A'BC=∠ABC，∠BA'C=∠BC'A，
∴∠BAC=∠BC'A，∠BCA'=∠BA'C，
∴∠BAC=∠BC'A=∠BCA'=∠BA'C，
∵∠BC'A+∠BC'M=180°，
∴∠BA'C+∠BC'M=180°，
∴∠A'BC'+∠M=180°，
∵∠A'BC'=∠ABC=90°，
∴∠M=90°，
∴AC'⊥A'C，
∵∠BAC=∠BC'A=∠BCA'=∠BA'C，
∴△ABC'∽△C'BA'，
∴$\frac{AC′}{A′C}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴AC'=$\frac{3}{4}$A'C．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．