Question

11．如图，抛物线y=x²-（m+2）x+3（m-1）与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，直线y=-2x+m+6经过点B，交y轴于点E（0，6）．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）如果抛物线的对称轴与线段BC交于点H，且直线y=x与直线y=-2x+m+6交于点G，求证：四边形OHBG是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△APB的面积等于平行四边形OHBG的面积，若存在，直接写出P点的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得答案；
（2）根据直线一次项的系数相等，可得平行线，根据平行四边线的定义，可得答案；
（3）根据面积相等，可得关于x的方程，根据解方程，可得点的坐标．

解答 解：（1）将E点坐标代入直线y=-2x+m+6，得
m+6=6，
解得m=0，
直线的解析式为y=-2x+6，
抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
（2）∵y=x²-2x-3=（x+1）（x-3）=（x-1）²-4，
∴B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），对称轴是x=1，
设直线BC的解析式为y=kx-3，
3k-3=0，解得k=1，
BC的解析式为y=x-3；
∴BC∥OG．点H的坐标为（1，-2）．
设OH的解析式为y=ax，则a=-2，
直线OH的解析式为y=-2x，
∴OH∥BG，
∴四边形OHBG是平行四边形；
（3）存在点P，使△APB的面积等于平行四边形OHBG的面积，
∵OB=3，△OBH的OB边上的高是2，平行四边形的面积是△OBH的二倍，
∴平行四边形的面积=2××$\frac{1}{2}$×3×2=6，
设P点的坐标为（x，x²-2x-3），
∵AB=3-（-1）=4，△APB的面积等于平行四边形OHBG的面积，
∴$\frac{1}{2}$×4×|x²2x-3|=6，
解得x=0或x=2，或x=1+$\sqrt{7}$，或x=1-$\sqrt{7}$，
x=0时，y=x²-2x-3=-3，即（0，-3），
x=2时，y=x²-2x-3=-3，即（2，-3），
x=1-$\sqrt{7}$时，y=x²-2x-3=3，即（1-$\sqrt{7}$，3），
x=1+$\sqrt{7}$时，y=x²-2x-3=3，即（1+$\sqrt{7}$，3），
∴P点坐标为（0，-3），（2，-3），（1-$\sqrt{7}$，3）（1+$\sqrt{7}$，3）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用直线一次项的系数相等得出平行线，又利用了平行四边形的定义；解（3）的关键是利用面积相等得出关于x的方程．