Question

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，-4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，5）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使△ACP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用顶点式将点A的坐标代入即可求得a的值，从而确定二次函数的解析式；
（2）首先求得B（1，0），C（5，0），设切点为E，连接CE，根据Rt△ABO∽Rt△BCE得到比例式，从而求得CE=

4

26

；根据点C到对称轴x=3的距离为2，2＞

4

26

，从而确定抛物线的对称轴l与⊙C相离；
（3）分三个角可能为直角，利用直角三角形的性质求得点P的坐标即可．

解答：（1）解：设抛物线解析式为：y=a（x-3）²-4，
将A（0，5）代入求得：a=1，
∴抛物线解析式为y=（x-3）²-4=x²-6x+5．

（2）抛物线的对称轴l与⊙C相离．
证明：令y=0，即x²-6x+5=0，得x=1或x=5，
∴B（1，0），C（5，0）．
如答图①所示，设切点为E，连接CE，由题意易证Rt△ABO∽Rt△BCE，
∴

AB

BC

=

OB

CE

，即

52+12

4

=

1

CE

，
求得⊙C的半径CE=

4

26

；
而点C到对称轴x=3的距离为2，2＞

4

26

，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相离．


（3）存在．
P₁（3，-2），P₂（3，8），P₃（3，-1），P₄（3，6）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和直角三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．