Question

如图1，抛物线C₁：y=x²+bx+c的顶点为A，与y轴的负半轴交于B点．
（1）求抛物线C₁的解析式及B点的坐标；
（2）如图2，将抛物线C₁向下平移与直线AB相交于C、D两点，若BC+AD=AB，求平移后的抛物线C₂的解析式；
（3）如图3在（2）中，设抛物线C₂与y轴交于G点，顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNG=90°，请你分析实数m的变化范围．

Answer 1

解：（1）由题意得：-=1，=-，其中a=1，
解得：b=-2，c=-，
∴抛物线C₁的解析式：y=x²-2x-；
令x=0，y=-，
∴B点的坐标为（0，-）；

（2）过A、B两点分别作x轴、y轴的垂线，交于H点，过C、D两点分别作x轴、y轴的垂线，交于Q点，
∵BC+AD=AB，∴CD=2AB，
∵AH=BH=1，∴CQ=DQ=2．
设直线AB解析式为：y=kx+b，
由（1）中A，B两点坐标得出：
，
解得：，
则直线AB的解析式为：y=-x-，
设C（m，），则D（m+2，），
设抛物线C₂的解析式为y=x²-2x+t，
∵C、D两点在抛物线C₂上，
则有：
解得：，
∴抛物线C₂的解析式为y=x²-2x-3；

（3）由（2）有OF=1，FE=4，OG=3，∴∠GEF=45°，
当M点在F点的右边时，
作EM⊥GE交x轴于M点，
则∠FEM=45°，
∴FM=EF=4，
∴OM=5，
∴m≤5；
当M点在F点的左边时，作GH⊥EF于H点，
∵∠MNG=90°，
则△MNF∽△NGH，
∴，
设FN=n，则NH=3-n，
∴，得：n²-3n-m+1=0，
∴△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
解得：．
∴m的变化范围是．
分析：（1）根据二次函数的顶点坐标为（-，），然后代入即可求出b和c的值，令x=0，求出此时的y，即是点B的纵坐标；
（2）过A、B两点分别作x轴、y轴的垂线，交于H点，过C、D两点分别作x轴、y轴的垂线，交于Q点，由（1）有直线AB的解析式为：y=-x-，设C（m，-m-），则D（m+2，-m-），代入抛物线C₂的解析式为y=x²-2x+t，求出即可；
（3）当M点在F点的右边时，作EM⊥GE交x轴于M点，当M点在F点的左边时，作GH⊥EF于H点，则△MNF∽△NGH，利用相似三角形的性质以及一元二次方程根的判别式得出m的取值范围．
点评：本题考查了二次函数的综合运用以及相似三角形的判定与性质，根据已知结合图象进行分类讨论得出是解题关键．