Question

14．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+mx+4与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C．
（1）填空：m=-3；
（2）点P（a，b）在抛物线上，且0＜a≤6，求△PBC面积的最大值；
（3）设H为线段BC上一点（不含端点），连接AH，一动点M从点A出发，沿线段AH以每秒一个单位速度运动到H点，再沿线段HC以每秒$\sqrt{2}$个单位的速度运动到C后停止，当点H的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

Answer 1

分析 （1）将点A的坐标代入得2+2m+4=0，然后，再求得m的值即可；
（2）先求得点B和点C的坐标，当0＜a＜4时，过点P作x轴的垂线交BC于D．设直线BC的解析式为y=kx+4，将点B的坐标代入可求得BC的解析式，设点P的坐标为（a，$\frac{1}{2}$a²-3a+4），则点D的坐标为（a，-a+4）．然后由S_△PBC=S_△PCD+S_△PBD 可得到△PBC的面积与a的函数关系式，从而可得到△PBC的面积的最大值，当4≤a≤6时，过点P作y轴的垂线交BC于E．则E（3a-$\frac{1}{2}$a²，$\frac{1}{2}$a²-3a+4），PE=$\frac{1}{2}$a²-2a，然后依据S_△PBC=S_△PCE+S_△PBE可得到△PBC的面积与a的函数关系式，从而可得到△PBC的面积的最大值；
（3）作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′F⊥y轴，垂足为F，交BC与点H，依据轴对称的性质可得到A′（4，2）将y=2代入直线BC的解析式可得到点H的坐标．

解答 解：（1）将点A的坐标代入得2+2m+4=0，解得：m=-3．
故答案为：-3．
（2）①当0＜a＜4时，过点P作x轴的垂线交BC于D．

令y=0得：$\frac{1}{2}$x²-3x+4=0，解得x=2或x=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+4，将点B的坐标代入得：4k+4=0，解得k=-1，
∴BC的解析式为y=-x+4．
设点P的坐标为（a，$\frac{1}{2}$a²-3a+4），则点D的坐标为（a，-a+4）．
∴DP=（-a+4）-（$\frac{1}{2}$a²-3a+4）=-$\frac{1}{2}$a²+2a．
∴S_△PBC=S_△PCD+S_△PBD=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$a²+2a）=-（a-2）²+4．
当a=2时  S最大值为4．
②当4≤a≤6时，过点P作y轴的垂线交BC于E．

∴E（3a-$\frac{1}{2}$a²，$\frac{1}{2}$a²-3a+4），PE=（a-3a+$\frac{1}{2}$a²）=$\frac{1}{2}$a²-2a．
∴S_△PBC=S_△PCE+S_△PBE=$\frac{1}{2}$×4×（$\frac{1}{2}$a²-2a）=（a-2）²-4．
当a=6时  S最大值为12．
综上可知，当0＜a≤6时，△PBC面积的最大值为12．
（3）作点A关于BC的对称点A′，过点A′作A′F⊥y轴，垂足为F，交BC与点H．

∵BC的解析式为y=-x+4．
∴∠OBC=45°．
∵点A与点A′关于BC对称，
∴∠ABC=∠A′BC=45°，AB=A′B=2，
∴A′（4，2）．
在Rt△CFH中，∠FCH=45°，即HF=$\sqrt{2}$HC，
∴点M在整个运动中所用的时间为$\frac{AH}{1}$+$\frac{HC}{\sqrt{2}}$=AH+HF．
∴当点A′、H、F在一条直线上时，所用时间最短．
将y=2代入y=-x+4得：-x+4=2，解得：x=2，
∴点H的坐标为（2，2）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质、求得点A′的坐标是解题的关键．