Question

有一个定理：若x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c为系数且为常数）的两个实数根，则x₁+x₂=、x₁•x₂=，这个定理叫做韦达定理． 如：x₁、x₂是方程x²+2x-1=0的两个实数根，则x₁+x₂=-2、x₁•x₂=-1． 若x₁，x₂是方程的两个实根．试求：
（1）x₁+x₂与x₁•x₂的值（用含有m的代数式表示）；
（2）的值（用含有m的代数式表示）；
（3）若，试求m的值．

Answer 1

解：（1）∵x₁，x₂是方程2x²+（m-1）x-m=0的两个实根，
∴x₁+x₂=-，x₁•x₂==-；

（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（-）²-2×（-）=；

（3）∵（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（-）²-4×（-）==1，
解得：m₁=1，m₂=-3，
当m=1时，原方程为：2x²-=0，△=4＞0，符合题意；
当m=-3时，原方程为：2x²-4x+=0，△=4＞0，符合题意；
∴m的值为1或-3．
分析：（1）由x₁，x₂是方程2x²+（m-1）x-m=0的两个实根，根据根与系数的关系可得x₁+x₂=-，x₁•x₂==-；
（2）由x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，将（1）代入即可求得答案；
（3）由（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，将（1）代入即可得方程：=1，继而求得m的值．
点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式．此题难度较大，注意掌握若二次项系数不为1，x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-，x₁x₂=知识的应用．