Question

如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C．若OC=2，则PC的长是

 

．

Answer 1

考点：含30度角的直角三角形,勾股定理,矩形的判定与性质

专题：计算题

分析：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，利用角平分线定理得到PD=PC，在直角三角形OQC中，利用锐角三角函数定义求出QC的长，在直角三角形QDP中，利用锐角三角函数定义用PD（即PC）表示出PQ，由QP+PC=QC，求出PC的长即可．

解答：解：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PC⊥OB，
∴PD=PC，
在Rt△QOC中，∠AOB=30°，OC=2，
∴QC=OCtan30°=2×

3

3

=

2 3

3

，∠APD=30°，
在Rt△QPD中，cos30°=

DP

PQ

=

3

2

，即PQ=

2 3

3

DP=

2 3

3

PC，
∴QC=PQ+PC，即

2 3

3

PC+PC=

2 3

3

，
解得：PC=4-2

3

．
故答案为：4-2

3

点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．