Question

如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，求AD的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理

专题：计算题

分析：连接BC、OD、BD，如图，根据圆周角定理得∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中利用勾股定理计算出BC=8，由于∠CAD=∠BAD，根据圆周角定理得到弧CD=弧BD，再根据垂径定理的推理得OD垂直平分BC，则OE=

1

2

AC=3，BE=

1

2

BC=4，所以DE=OD-OE=2，在Rt△BDE中利用勾股定理计算出BD=2

5

，然后在Rt△ADB中利用勾股定理可计算出AD．

解答：解：连接BC、OD、BD，如图，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=10，AC=6，
∴BC=

AB2-AC2

=8，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴弧CD=弧BD，
∴OD垂直平分BC，
∴OE=

1

2

AC=3，BE=

1

2

BC=4，
∴DE=OD-OE=2，
在Rt△BDE中，BD=

BE2+DE2

=2

5

，
在Rt△ADB中，AD=

AB2-BD2

=4

5

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和勾股定理．