Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圆⊙O与边AC相交于点F，过F作AB的垂线交AD于P，交⊙O于G，连接GE．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若tan∠G=

4

3

，BE=2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求AP的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连结OD，根据AD是角平分线，求出∠C=90°，得到OD⊥BC，求出BC是⊙O的切线；
（2）构造直角三角形，根据勾股定理求出k的值即可；
（3）设FG与AE的交点为M，连结AG，利用三角函数和相似三角形结合勾股定理解题．

解答：（1）证明：连结OD．
∵DE⊥AD，
∴AE是⊙O的直径，即O在AE上．
∵AD是角平分线，
∴∠1=∠2．
∵OA=OD，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴OD∥AC．
∵∠C=90°，
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵OD∥AC，
∴∠4=∠EAF．
∵∠G=∠EAF，
∴∠4=∠G．
∴tan∠4=x=tan∠G=

4

3

．
设BD=4k，则OD=OE=3k．
在Rt△OBD中，由勾股定理得（3k）²+（4k）²=（3k+2）²，
解得，k₁=1，k₂=-

1

4

（舍），（注：也可由OB=5k=3k+2得k=1），
∴⊙O的半径为3．
（3）解：设FG与AE的交点为M，连结AG，则∠AGE=90°，∠EGM=∠5．
∴tan∠5=tan∠EGM=

4

3

，即

GM

AM

=

EM

GM

=

4

3

．
∴

AM

EM

=

9

16

，
∴AM=

9

25

AE=

54

25

．
∵OD∥AC，
∴

OD

AC

=

OB

AB

，

CD

AO

=

DB

OB

，即

3

AC

=

5

8

，

CD

3

=

4

5

．
∴AC=

24

5

，CD=

12

5

．
∵∠1=∠2，∠2=∠AMP=90°，
∴△ACD∽△AMP．
∴

PM

AM

=

CD

AC

=

1

2

，
∴PM=

1

2

AM=

27

25

．
∴AP=

PM2+AM2

=

27

25

5

．

点评：本题考查了圆的综合题，涉及切线的判定、勾股定理、相似三角形、特殊角的三角函数值，是综合题，要注意全面考虑．