Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点（A点在原点左侧，B点在原点右侧），与y轴交于C点．若AB=4，OB＞OA，且OA、OB是方程x²+kx+3=0的两根．
（1）请求出A，B两点的坐标；
（2）若点O到BC的距离为

3 2

2

，求此二次函数的解析式；
（3）若点P的横坐标为2，且△PAB的外心为M（1，1），试判断点P是否在（2）中所求的二次函数图象上．

Answer 1

分析：（1）由于已知OA、OB是方程x²+kx+3=0的两根，故可根据一元二次方程根与系数的关系求出OA、OB的值，再根据A点在原点左侧，B点在原点右侧，OB＞OA，可确定A、B的坐标．
（2）设C（0，c），可根据△OBC的面积求出点C的坐标，再用待定系数法求出二次函数的解析式．
（3）先设出P点坐标，根据三角形外心的定义可求出P点坐标，再把其代如（2）中二次函数的解析式，看是否适合即可．

解答：解：（1）由题意可知OA+OB=-K，OA•OB=3，
∵AB=4，即OA+OB=-K=4，k=-4，
故方程x²+kx+3=0可化为x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
即OA=1，OB=3，
∵AB=4，OB＞OA，A点在原点左侧，B点在原点右侧，
∴A（-1，0），B（3，0）．

（2）设C（0，c），
如图：根据三角形的面积公式可知

1

2

BC•OD=

1

2

OB•OC，
即

32+c2

•

3 2

2

=3c，
解得c=±3，
故C（0，3）或（0，-3），
设过A、B、C三点的函数解析式为y=ax²+bx+c，
当c＞0时，

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
故二次函数的解析式为y=-x²+3x+3，
同理当c=-3时，二次函数的解析式为y=-x²+2x-3，
故过A、B、C三点的二次函数的解析式为y=-x²+2x+3或y=-x²+2x-3；

（3）设P点坐标为（2，x），由外心的定义可知AE=PE，
即

(-1-1)2+12

=

(2-1)2+(y-1)2

，
解得y=3，或y=1，
把x=2分别代入二次函数的解析式y=-x²+2x+3和y=-x²+2x-3，
解得y=±3，
故P不在（2）中所求的二次函数图象上．

点评：此题比较复杂，涉及到二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程根与系数的关系及三角形的性质，是中学阶段的难点．