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已知抛物线的顶点是C(0,a) (a>0,a为常数),并经过点(2a,2a),点D(0,2a)为一定点。
(1)求含有常数a的抛物线的解析式;
(2)设点P是抛物线任意一点,过P作PH⊥x轴,垂足是H,求证:PD=PH;
(3)设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点,若DA=2DB,且S△ABD=4,求a的值。
解:(1)设抛物线的解析式为y=kx2+a,
∵点D(2a,2a)在抛物线上,
4a2k+a=2a,
∴k=
∴抛物线的解析式为y=x2+a;
(2)设抛物线上一点P(x,y),过P作PH⊥x轴,PG⊥y轴,
在Rt△GDP中,由勾股定理得:PD2=DG2+PG2=(y-2a)2+x2=y2-4ay+4a2+x2
∵y=x2+a
∴x2= 4a×(y-a)=4ay-4a2
∴PD2=y2-4ay+4a2+4ay-4a2=y2=PH2
∴PD=PH。

(3)过B点BE⊥x轴,AF⊥x轴,
由(2)的结论:BE=DB AF=DA,
∵DA=2DB,
∴AF=2BE,
∴AO=2BO,
∴B是OA的中点,
∴C是OD的中点,
连结BC,
∴BC===BE=DB,
过B作BR⊥y轴,
∵BR⊥CD,
∴CR=DR,OR=a+=
∴B点的纵坐标是,又点B在抛物线上,
=x2+a,
∴x2=2a2
∵x>0,
∴x=a,
∴B (a,
AO=2OB,
∴S△ABD=S△OBD=4
所以,×2a×a=4
∴a2=4,
∵a>0,
∴a=2。

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2
.求a的值.
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