Question

如图10，为的直径，为弦，且，垂足为．

（1）如果的半径为4，，求的度数；

（2）若点为的中点，连结，．求证：平分；

（3）在（1）的条件下，圆周上到直线距离为3的点有多少个？并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵ AB为⊙O的直径，CD⊥AB  ∴ CH＝CD＝2     ……（1分）

　　　　　　在Rt△COH中，sin∠COH==

             ∴ ∠COH=60° 

             ∵ OA=OC    ∴∠BAC=∠COH=30°　

      （2）∵ 点E是的中点   ∴OE⊥AB   

           ∴ OE∥CD   ∴ ∠ECD=∠OEC   

         又∵ ∠OEC=∠OCE

∴ ∠OCE=∠DCE    …………………………………（6分）

∴ CE平分∠OCD    …………………………………（6分）

    　（3）圆周上到直线的距离为3的点有2个.    …………………（8分）

       因为劣弧上的点到直线的最大距离为2， 上的点到直线AC的最大距离为6，，根据圆的轴对称性，到直线AC距离为3的点有2个.  ……………（10分）