Question

已知如图，△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于E，
（1）若BE平分∠ABC，求∠A的度数．
（2）若△ABC的周长为10，△BCE的周长为6，求BC的长度．

Answer 1

解：（1）∵D是AB的中点，DE⊥AB交AC于E，
∴EB=EA，
∴∠A=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=2∠ABE=2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
即：5∠A=180°
∴∠A=36°；

（2）∵△ABC的周长为10，
∴AB+AC+BC=10，
∵△BCE的周长为6，
∴BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=6，
∴AB=AC=4．
∴BC=2．
分析：（1）利用线段垂直平分线的性质和角平分线的性质及等腰三角形的性质得到5∠A=180°，进而求得∠A的大小；
（2）根据△ABC的周长为10得到AB+AC+BC=10，根据△BCE的周长为6，得到BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=6，所以得到AB=AC=4，从而求得BC=2．
点评：本题考查了线段的垂直平分线、角的平分线及等腰三角形的性质，正确的应用这些性质是解题的关键．