Question

如图，ABCD和BEFG都是正方形，A、B、E三点在同一直线上，连接AC、EC、AG，延长AG交EC于H．
（1）求证：△ABG≌△CBE；
（2）探索直线AH与EC的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵ABCD与BEFG都是正方形，
∴AB=BC，BE=BG，∠ABG=∠CBE=90°，
∵在△ABG和△CBE中，
，
∴△ABG≌△CBE（SAS）；

（2）AH⊥EC，理由为：
证明：∵△ABG≌△CBE，
∴∠BAG=∠BAE，
又∠CGH=∠AGB，
∴△AGB∽△CBH，
∴∠GHC=∠AGB=90°，
∴AH⊥EC．
分析：（1）由ABCD与BEFG都是正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；
（2）直线AH与EC的位置关系是垂直，理由为：由全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由一对对顶角相等得到三角形CGH与三角形ABG相似，由相似三角形的对应角相等得到∠ABG=∠GCH，而∠ABG为直角，故∠GHC为直角，利用垂直的定义即可得证．
点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．