Question

如图，在等腰直角Rt△ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且PB=PD，DE⊥AC，垂足为E．  
（1）试论证PE与BO的位置关系和大小关系．
（2）设AC=2，AP=x，四边形PBDE的面积为y，试写出y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得出OB⊥AC，即可得出PE与BO的位置关系，再利用全等三角形的判定得出△POB≌△DEP（AAS），得出PE与BO的大小关系；
（2）利用S_{四边形PBDE}=S_△ABC-S_△APB-S_△DEC，分别求出各图形面积，得出y与x之间的函数关系即可．

解答：（1）证明：∵O是等腰直角三角形ABC斜边AC的中点，
∴OB⊥AC；∠OBC=

1

2

∠ABC=45°，
又∵DE⊥AC，∴∠BOP=∠PED=90°，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=∠A=45°，
∵∠PDB=∠C+∠DPE，
∴∠PDB=45°+∠DPE，
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∴∠PBO+45°=45°+∠DPE
∴∠PBO=∠DPE，
∵在△POB和△DEP中，

∠POB=∠PED ∠OBP=∠EPD PB=PD

，
∴△POB≌△DEP（AAS），
∴PE=BO；
故PE与BO的位置关系是PE⊥BO，大小关系是：PE=BO．                          

（2）解：∵O是等腰直角三角形ABC斜边AC的中点
∴OB=

1

2

AC，OB⊥AC，
∵AC=2，∴PE=OB=1，∵AP=x，∴CE=2-1-x=1-x，
∴S_△APB=

1

2

x•1=

1

2

x          
∵DE⊥AC，∠C=45°，DE=CE=1-x，
∴S_△DEC=

1

2

（1-x）²
∴S_{四边形PBDE}=S_△ABC-S_△APB-S_△DEC
∴y=

1

2

×2×1-

1

2

x-

1

2

（1-x）²
∴y=-

1

2

x²+

1

2

x+

1

2

．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知图形正确分割出三角形是解题关键．