Question

如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax²+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）该抛物线G的解析式为

y=x²-4x+3

；
（2）将直线L沿y轴向下平移

9

4

个单位长度，能使它与抛物线G只有一个公共点；
（3）若点E在抛物线G的对称轴上，点F在该抛物线上，且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长．
（4）连接AC，得△ABC．若点Q在x轴上，且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）先根据直线的解析式求出点B、C的坐标，再根据二次函数的对称性求出点A的坐标，然后利用待定系数法列式求解即可得到抛物线G的解析式；
（2）根据平移的性质，设平移后的直线的解析式为y=-x+b，与抛物线的解析式联立得到关于x的一元二次方程，再根据△=0时，有一个交点列式求出b的值，再根据平移的性质解答；
（3）因为AB是边长还是对角线不明确，所以分①AB是边长时，根据平行四边形的对边平行且相等得到EF=AB=2，从而得到点F的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标的值，从而得到点E、F的坐标；②AB是对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，再结合二次函数的性质可得EF⊥AB时，满足条件，从而求出点E、F的坐标；
（4）根据点A、B、C、P的坐标可知，∠PBQ=∠ABC=45°，并求出AB、BC、PB的长度，然后分①PB与AB是对应边，②PB与BC是对应边时两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ的长度，从而点Q的坐标可得，③点Q在点B的右侧时，∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135，不存在以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

解答：解：（1）当x=0时，y=3，
当y=0时，-x+3=0，解得x=3，
∴点B、C的坐标为B（3，0），C（0，3），
又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，
根据抛物线的对称性，
∴点A的坐标为（1，0），
∴

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=-4 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3；

（2）设平移后的直线解析式为y=-x+b，
则

y=-x+b y=x2-4x+3

，
∴x²-3x+3-b=0，
∵它与抛物线G只有一个公共点，
∴△=b²-4ac=（-3）²-4×1×（3-b）=9-12+4b=0，
解得b=

3

4

，
3-

3

4

=

9

4

，
∴向下平移了

9

4

个单位；

（3）∵A（1，0），B（3，0），
∴AB=3-1=2，
①当AB是边时，∵点E在对称轴上，平行四边形的对边平行且相等，
∴EF=AB=2，
∴点F的横坐标为0或4，
当横坐标为0时，y=0²-4×0+3=3，
当横坐标为4时，y=4²-4×4+3=3，
∴点F的坐标为F₁（0，3）或F₂（4，3），
此时点E的坐标为E₁（2，3），
此时AE=

12+32

=

10

，
∴平行四边形的周长为：2（AB+AE）=2（2+

10

）=4+2

10

；
②当AB边为对角线时，EF与AB互相垂直平分，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴此时点E、F的坐标为E₂（2，1），F₃（2，-1），
∴AE=

12+12

=

2

，
AF=

12+12

=

2

，
∴平行四边形的周长为：2（AE+AF）=2（

2

+

2

）=4

2

，
综上所述，点E、F的坐标分别为E₁（2，3），F₁（0，3）或F₂（4，3），此时平行四边形的周长为4+2

10

，
或E₂（2，1），F₃（2，-1），此时平行四边形的周长为4

2

；

（4）连接PB，由y=x²-4x+3=（x-2）²-1，得P（2，-1），
设抛物线的对称轴交x轴于点M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，
∴∠PBM=45°，PB=

2

．
由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得BC=3

2

．
假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
①PB与AB是对应边时，∵∠PBQ=∠ABC=45°，
∴

BQ

BC

=

PB

AB

，
即

BQ

3 2

=

2

2

，
解得BQ=3，
又∵BO=3，
∴点Q与点O重合，
∴Q₁的坐标是（0，0），
②PB与BC是对应边时，∵∠PBQ=∠ABC=45°，
∴

QB

AB

=

PB

BC

，
即

QB

2

=

2

3 2

，
解得QB=

2

3

，
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-

2

3

=

7

3

，
∴Q₂的坐标是（

7

3

，0），
③∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC．
∴点Q不可能在B点右侧的x轴上
综上所述，在x轴上存在两点Q₁（0，0），Q₂（

7

3

，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法，注意要分情况讨论求解．