Question

（2011•绍兴县模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是线段AD上的任意一点（不含端点A、D），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于E，则BE的取值范围是（　　）

• A．0＜BE＜4
• B．

  7

  4

  ≤BE＜4
• C．2≤BE＜4
• D．0＜BE≤

  7

  4

Answer 1

分析：由于BE的最大值为AB的长即2，因此只需求得BE的最小值即可；设AP=x，AE=y，根据△AEP∽△DPC可得AP•PD=AE•CD，用x、y表示出其中的线段，即可得到关于x、y的函数关系式，根据函数的性质即可求得y的最大值，由此可求得BE的最小值，即可得到BE的取值范围．

解答：解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D，
∴∠AEP+∠APE=90°，
∵PE⊥PC
∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△AEP∽△DPC；
设DP=x，BE=y，则AE=4-y，AP=6-x，
∵△AEP∽△DPC，
∴

CD

PA

=

PD

EA

，代入整理可得：y=

1

4

x²-

3

2

x+4=

1

4

（x-3）²+

7

4

，
故BE的最小值为

7

4

，又因为BE的最大值为4，
∴BE的范围为

7

4

≤BE＜4．
故选B．

点评：此题主要考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数最值的应用，关键是证明△AEP∽△DPC，这一点不容易想到，难度较大，另外要求我们熟练掌握二次函数的最值的求解办法．