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【题目】平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别是为(0,3)、(-1,0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A′B′OC′.

(1)若抛物线过点C、A、A′,求此抛物线的解析式;
(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△OC′D的周长;
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点,问:点M在何处时;△AMA′的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标.

【答案】
(1)

解:∵A′B′OC′由ABOC旋转得到,且点A的坐标为(0,3),

点A′的坐标为(3,0).

∴抛物线过点C(-1,0),A(0,3),A′(3,0),

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),可得

解得

∴过点C,A,A′的抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.


(2)

解:∵AB//CO,∴∠OAB=∠AOC=90°,

∴OB=

又∠OC′D=∠OCA=∠B,

∠C′OD=∠BOA,∴△C′OD~△BOA,

又OC′=OC=1,

又△ABO的周长为4+

∴△C′OD的周长为 .


(3)

解:连接OM,设M点的坐标为(m,n),

∵点M在抛物线上,

∴n=-m2+2m+3,

= OA·m+ OA′·n- OA·OA′

= (m+n)-

= (m+n-3)

= (m2-3m)= (m 2+ .

∵0<m<3,∴当m= 时,n= ,△AMA′的面积有最大值,

∴当点M的坐标为( )时,△AMA′的面积有最大值,且最大值为 .


【解析】(1)需要求A′的坐标,由A(0,3)绕点O顺时针旋转90°,则A′在x轴上且OA′=OA=3,则A′(3,0);运用待定系数法求抛物线的解析式;(2)根据勾股定理易求得OB的长;由角OC′D=角OCA=角B,角C′OD=角BOA,则△C′OD~△BOA,根据相似三角形的周长比等于相似比,可先求得相似比和△BOA的周长,则可求出△OC′D的周长;(3)可设M(m,n)代入抛物线可得n与m的关系式,而 ,由面积= 底乘高,将上式进行化简,可得 与m的关系式,由0<m<3,讨论m取何值时 最大.

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A.1
B.2
C.3
D.4

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A.43
B.45
C.51
D.53

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