Question

【题目】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8 cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以 cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）

（1）当点M落在AB上时，x=；
（2）当点M落在AD上时，x=；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）4
（2）
（3）

解：①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，

∵AP= x，

∴EF=PE=x，

∴y=S△PEF= PEEF= x2．

②当4＜x≤ 时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．

∵PQ=PC=8 ﹣ x，

∴PM=16﹣2x，∴ME=PM﹣PE=16﹣3x，

∴y=S△PMQ﹣S△MEG= （8 ﹣ x）2﹣ （16﹣3x）2=﹣ x2+32x﹣64．

③当 ＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，

∴y=S△PMQ= PQ2= （8 ﹣ x）2=x2﹣16x+64．

综上所述y=

【解析】解：（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，AP=CP=4 ，所以x= =4．
所以答案是4．（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E．
br />∵△MQP，△PQE，△PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PC
∴DQ=QE=EC，
∵PE∥AD，
∴ = = ，∵AC=8 ，
∴PA= ，
∴x= ÷ = ．
所以答案是 ．