Question

【题目】若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点P在直线l上，则称该抛物线L与直线l具有“”一带一路关系，此时，抛物线L叫做直线l的“带线”，直线l叫做抛物线L的“路线”．
（1）求“带线”L：y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的“路线”l的解析式；
（2）若某“带线”L：y= x2+bx+c的顶点在二次函数y=x2+4x+1的图象上，它的“路线”l的解析式为y=2x+4．
①求此“带线”L的解析式；
②设“带线”L与“路线”l的另一个交点为Q，点R在PQ之间的“带线”L上，当点R到“路线”l的距离最大时，求点R的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=x2﹣2mx+m2+m﹣1=（x﹣m）2+m﹣1，

∴“带线”L的顶点为（m，m﹣1），

∴“路线”l的解析式为y=x﹣1

（2）

解：①设“带线”L：y= x2+bx+c的顶点为（x，2x+4）．

把（x，2x+4）代入y=x2+4x+1得2x+4=x2+4x+1，解得x1=1，x2=﹣3．

∴“带线”L：y= x2+bx+c的顶点为（1，6）或（﹣3，﹣2）．

∴“带线”L的解析式为y= （x﹣1）2+6或y= （x+3）2﹣2，

即y= x2﹣x+ 或y= x2+3x+ ；

②若“带线”L解析式为y= x2﹣x+ 时，解方程组 得 或 ，则带线”L与“路线”l的另一个交点Q的坐标为（5，14），

要使点R到线段PQ的距离最大，只要S△RPQ最大，

作PH∥y轴交PQ于H，设R（x， x2﹣x+ ），则H（x，2x+4）

∴S△RPQ= （2x+4﹣ x2+x﹣ ）（5﹣1）=﹣x2+6x+3=﹣（x﹣3）2+13．

∴当x=3时，S△RPQ有最大值，此时点R的坐标为（3，8）；

若“带线”L解析式为y= x2+3x+ 时，同理可得点R的坐标为（﹣1，0）．

∴点R的坐标为（3，8）或（﹣1，0）

【解析】（1）先配方得到抛物线y=x2﹣2mx+m2+m﹣1的顶点坐标，则根据新定义得到“带线”L的顶点为（m，m﹣1），然后利用横纵坐标之间的关系可确定“路线”l的解析式；（2）①根据新定义“带线”L：y= x2+bx+c的顶点在“路线”l，则可设“带线”L：y= x2+bx+c的顶点为（x，2x+4），再把（x，2x+4）代入y=x2+4x+1得2x+4=x2+4x+1，解方程求出x就看得到“带线”L：y= x2+bx+c的顶点坐标，然后利用顶点式可得“带线”L的解析式；②讨论：当“带线”L解析式为y= x2﹣x+ 时，通过解方程组 得Q的坐标为（5，14），由于要使点R到线段PQ的距离最大，只要S△RPQ最大，作PH∥y轴交PQ于H，设R（x， x2﹣x+ ），则H（x，2x+4），利用三角形面积公式，S△RPQ= （2x+4﹣ x2+x﹣ ）（5﹣1），然后根据二次函数的性质求解；若“带线”L解析式为y= x2+3x+ 时，利用同样的方法可确定点R的坐标．
【考点精析】掌握二次函数的性质和二次函数的最值是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．