Question

【题目】如图（1），在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是射线CD上的一个动点，把△BCE沿BE折叠，点C的对应点为F．

（1）若点F刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求线段CE的长；
（2）若点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求线段CE的长；
（3）当射线AF交线段CD于点G时，请直接写出CG的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1中，MN是线段AD的中垂线，作FH⊥CD于H．

在Rt△BFM中，∵BF=BC=3，BM= ，

∴FM=CH= = ，设CE=EF=x，

在Rt△EFH中，∵EF2=FH2+HE2，

∴x2=（ ）2+（ ﹣x）2，

∴x= ，

∴CE=

（2）

解：如图2中，MN是线段AB的中垂线，设EF=CE=x．

在Rt△BFM中，∵∠BMF=90°，BM=2，BF=BC=3，

∴MF= = ，

∵MN=BC=3，

∴FN=3﹣ ，EN=2﹣x，

在Rt△EFN中，∵EF2=FN2+NE2，

∴x2=（3﹣ ）2+（2﹣x）2，

∴x=

（3）

解：如图3中，

欲求CG的最大值，只要求出DG的最小值即可，

∵DG=ADtan∠GAD，

∴∠GAD最小时，DG的值最小，

∵BF=BC，BF是定值，

∴当BF⊥AG时，∠BAF的值最大，即∠DAG的值最小，

当BF⊥AG时，易知点E与点G共点，

设CG=GF=x，

在Rt△ABF中，∵∠AFB=90°，AB=4，BF=BC=3，

∴AF= = ，

在Rt△ADE中，∵AD2+DG2=AG2，

∴32+（4﹣x）2=（ +x）2，

∴x=4﹣ ．

∴CG的最大值为4﹣ ，

故答案为4﹣

【解析】（1）如图1中，MN是线段AD的中垂线，作FH⊥CD于H．设CE=EF=x，在Rt△EFH中，根据EF2=FH2+HE2 ， 构建方程即可解决问题．（2）如图2中，MN是线段AB的中垂线，设EF=CE=x．在Rt△EFN中，根据EF2=FN2+NE2 ， 构建方程即可解决题．（3）欲求CG的最大值，只要求出DG的最小值即可，由DG=ADtan∠GAD，推出∠GAD最小时，DG的值最小，由BF=BC，BF是定值，推出当BF⊥AG时，∠BAF的值最大，即∠DAG的值最小，当BF⊥AG时，易知点E与点G共点，设CG=GF=x，在Rt△ADE中，根据AD2+DG2=AG2 ， 构建方程即可解决问题．