Question

6．已知关于x的一元二次方程x²-（2k+10）x+k²+10k+24=0．
①证明该方程有两个不相等实根；
②若该方程两根刚好是一直角三角形两直角边长，且该直角三角形斜边为10，求k值．

Answer 1

分析 ①表示出方程根的判别式，判断其正负，即可得出方程根的情况；
②利用根与系数的关系表示出x₁+x₂与x₁x₂，根据勾股定理得出x₁²+x₂²=100，变形后得出k的方程，求出方程的解即可得到k的值．

解答 解：①方程x²-（2k+10）x+k²+10k+24=0，
∵△=（2k+10）²-4（k²+10k+24）=4＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根；
②设两根为x₁，x₂，
根据根与系数的关系得：x₁+x₂=2k+10，x₁x₂=k²+10k+24，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（2k+10）²-2（k²+10k+24）=2k²+20k+52，
∵x₁²+x₂²=100，
∴2k²+20k+52=100，即k²+10k-24=0，
分解因式得：（k+12）（k-2）=0，
解得：k₁=-12，k₂=2，
当k=-12时，方程为x²+14x+48=0，
解得：x=-6，x=-8，不合题意，舍去，
则k的值为2．

点评 此题考查了勾股定理，以及根的判别式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．