Question

11．在直角三角形ABC中，∠C=90°，CA=CB=1，点P是边AC一动点，点Q在边CB的延长线上，且AP=BQ，连接PQ交线段AB于点O．
（Ⅰ）如图1，小丁过点P作PH∥CB交线段AB于H，发现△OPH≌△OQB，请证明小丁发现的结论．
（Ⅱ）如图2，过点O作OM，ON分别垂直于AC，BC于点M，N，若四边形OMCN的面积为$\frac{2}{9}$，求线段CP的长度．
（Ⅲ）如图3，点P关于直线AB的对称点为P′，连接OP′，CP′，试说明∠OP′C=45°．

Answer 1

分析 （1）易证∠OPH=∠Q，即可证明△OPH≌△OQB；
（2）易证ON=AN，OM=CN，即可求得CN、AN的值，易证OB=OH，根据平行线性质可得CN=PN，即可解题；
（3）过C作CG⊥AB，作PH∥BC，易证OP=OQ，OH=OB，HK=AK，即可求得OK=CG，即可证明RT△OP'K≌RT△COG，可得∠P′OK=∠OCG，即可求得∠P′OK+∠COG=90°，即可解题．

解答 （1）证明：∵PH∥BC，
∴∠OPH=∠Q，
在△OPH和△OQB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOQ=∠HOP}\\{∠OPH=∠Q}\\{PH=BQ}\end{array}\right.$，
∴△OPH≌△OQB（AAS）；

（2）解：∵ON⊥AC，∠A=45°，
∴ON=AN，
∵ON⊥AC，OM⊥BC，∠C=90°，
∴四边形OMCN为矩形，
∴OM=CN，
∵CN•NO=$\frac{2}{9}$，CN+NO=1，
∴CN=$\frac{1}{3}$，AN=$\frac{2}{3}$，
∵△OPH≌△OQB，
∴OB=OH，
∵PH∥BC，
∴$\frac{HO}{BO}$=$\frac{PN}{CN}$=1，
∴CP=$\frac{2}{3}$；

（3）解：过C作CG⊥AB，作PH∥BC，
∵点P关于直线AB的对称点为P′，
∴OP=OP′，
∵△OPH≌△OQB，
∴OP=OQ，OH=OB，
∵PH∥BC，
∴△APH为等腰直角三角形，
∵PP′⊥AH，
∴HK=AK，
∴OK=$\frac{1}{2}$AB，
∵CG⊥AB，
∴CG=AO=BO=$\frac{1}{2}$AB，
∴OK=CG，
在R_t△OP′K和R_t△COG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OK=CG}\\{OC=OP′}\end{array}\right.$，
∴R_t△OP′K≌R_t△COG（HL），
∴∠P′OK=∠OCG，OC=OP′，
∵∠OCG+∠COG=90°，
∴∠P′OK+∠COG=90°，即∠P′OC=90°，
∴△COP′是等腰直角三角形，
∴∠CP′O=45°．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△OPH≌△OQB和RT△OP'K≌RT△COG是解题的关键．